¿Por qué es un anillo de $R$ con la propiedad de que $r=r^2$ por cada $r\in R$ tan especial?

Question

La pregunta está motivada por la siguiente opción múltiple problema:

Si $R$ es un anillo con la propiedad de que $r=r^2$ por cada $r\in R$, ¿cuál de los siguientes debe ser verdad?

I. $r+r=0$ por cada $r\in R$.
II. $(r+t)^2=r^2+t^2$ por cada $r,t\in R$.
III. $R$ es conmutativa.

Aquí están mis preguntas:

• Lo teoremas necesito para resolver el problema anterior?
• ¿Por qué es un anillo con la propiedad de que $r=r^2$ por cada $r\in R$ tan especial? Hay un nombre para esos anillos?

Answer 1

Trivialmente, II sostiene, desde $r^2+t^2 = r+t = (r+t)^2$ por la condición dada.

Me es un poco más difícil de ver, pero también es cierto: $$r+r = (r+r)^2 = (r+r)(r+r) = r^2+r^2+r^2+r^2 = r+r+r+r,$$ para cancelar llegamos $r+r=0$.

Y a partir de esto se obtiene III: para cualquier $a$$b$, $$a+b = (a+b)^2 = a^2 + ab+ba+b^2 = a+ab+ba+b.$$ Cancelación usted consigue $ab+ba=0$. Desde $ab+ab=0$ así, llegamos a la conclusión de que $ba=-ab=ab$, lo $R$ es conmutativa.

No teoremas, sólo algunas manipulaciones.