La prueba de la medida de la descomposición $dg = dk \, d_lp$ el uso de la Iwasawa descomposición para reductiva grupos

Question

Deje $G$ (los puntos racionales de) conectado reductora grupo a través de una $p$-ádico de campo $F$. Deje $A$ ser un máximo de $F$-split toro de $G$, e $P$ un mínimo parabólico subgrupo que contiene $A$. Deje $M = Z(A)$ ser el centralizador de $A$$G$, e $N(A)$ el normalizador. Deje $W = N(A)/M$.

Los apartamentos del edificio asociado a $G$ corresponde a la máxima $F$-split tori de $G$. A través de algunos de los edificios travesuras que no entiendo, se obtiene un especial, bueno, la máxima compacto abrir subgrupo $K$ $G$ , y un cierto subgrupo $B$ $K$ llamado Iwahori subgrupo.

Cada elemento de a $w$ $W$ tiene un representante de $\omega(w)$$K \cap N(A)$. El Iwasawa de descomposición dice que $G$ es distinto de la unión de la doble cosets

$$ Pw(\omega)B$$

para $w \in W$. En particular, $G = PK$. Desde $K$ está abierto en $G$, su medida de Haar $dk$ es la restricción de la de $G$, lo que nos normalizar a hacer $K$ tienen medida. También normalizar la izquierda Haar medida $d_lp$$P$, de modo que $P \cap K$ tiene una medida de uno.

Al parecer, uno puede usar el Iwasawa descomposición de relacionar la Elección de las medidas de $dg, d_lp$, e $dk$. Esto se explica en la P. Cartier el artículo de Representaciones de $\mathfrak p$-ádico Grupos en la Corvallis procedimientos, volumen uno. Estoy confundido sobre un par de detalles en la prueba.

En primer lugar, entiendo por qué la función de $u_h: G \rightarrow \mathbb{C}$ está bien definido. Lo que no entiendo es cómo se puede concluir que es continua y de tamaño compacto.

Siguiente, no entiendo cómo se puede concluir que el $h \mapsto \int\limits_G u_h(g)dg$ $K \times P$- invariante. Parece difícil calcular el cambio de variables a la hora de integrar la función de $u_h(g)$, ya que para cada $g$ sólo uno puede calcular $u_h(g)$ por una selección de $p$ $k$ tal que $g = pk^{-1}$.

Answer 1

No se muy bien dirigiéndose directamente de Cartier argumento, pero la abstracción de los problemas un poco, que yo creo que aclara lo que realmente participa:

Reclamo: vamos a $G$ ser un unimodular grupo expresable como la $G=AB$ con el cierre de los subgrupos $A,B$, de tal manera que $A\cap B$ es compacto. Entonces (con la habitual abuso de notación), hasta la normalización de las constantes, $dg = da_L\cdot db_R=da_R\cdot db_L$, con izquierda/derecha Haar de las medidas con la obvia subíndices.

Prueba: $G$ $A \times B$ espacio en menos de dos maneras, por $(a,b)(g)=a^{-1}gb$, y por $(a,b)(g)=b^{-1}ga$. La isotropía del subgrupo de el punto de $1\in G$$A\cap B$, lo que estamos asumiendo es compacto. Hay un $A\times B$invariante en la medida en $G\cong (A\times B)/(A\cap B)$ si y sólo si la medida de Haar en $A\times B$ restringido a $A\cap B$ es la medida de Haar $A\cap B$, y esto es así, ya que $A\cap B$ es compacto. Entonces esta medida es única, con la propiedad de que $\int_G \varphi = \int_A\int_B \varphi(a^{-1}b)\,da\,db$, etc.

En particular, no se trata de p-ádico grupos, o totalmente desconectados de los grupos, o la Mentira de los grupos, o... simplemente sobre la generalidad de los grupos topológicos, y la propiedad de que (con notación diferente de la anterior) un cociente $H\backslash G$ tiene un derecho $G$-medida invariante si y sólo si el sistema modular de la función de $G$ restringido a $H$ es igual a la de modular la función de $H$, y después de que el invariante de la medida es único.

(Una discusión extensa sobre esto se puede encontrar en muchos de los fuentes. En la línea de, por ejemplo, en mi ensayo http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/smooth_of_td.pdf como telón de fondo para una discusión de suave representaciones de totalmente desconectados de los grupos.)