La solución de sistema multivariable de 2º grado, polinomios

Question

¿Cómo usted va sobre la resolución de un problema, tales como:

\begin{matrix} { x }^{ 2 }+3xy-9=0 \quad(1)\\ 2{ y }^{ 2 }-4xy+5=0 \quad(2) \end{de la matriz} donde $(x,y)\in\mathbb{C}^{2}$.

De manera más general, ¿cómo se podría solucionar cualquier conjunto de ecuaciones de la forma:

\begin{matrix} { ax }^{ 2 }+bxy+c=0 \\ d{ y }^{ 2 }+exy+f=0 \end{de la matriz}

donde$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{Q}$$(x,y)\in\mathbb{C}^{2}$.

Sé que hay cuatro soluciones complejas para un sistema de ecuaciones en este formulario, pero no se sabe cómo se iba a resolver por ellos.

Answer 1

Multiplicar la primera ecuación por $5$.
Multiplicar la segunda ecuación por $9$.
Agregar las dos Ecuaciones.
Dividir esta ecuación por $y^2$.
Deje $t={x\over y}$.
Usted obtiene una ecuación cuadrática en $t$.

Los pasos son[Generalización]:
Reducir las dos ecuaciones de un
$${ ax }^{ 2 }+bxy+{cy}^2=0$$ Luego se divide por $y^2$ $${ a{x^2 \over y^2} }+b{x\over y}+{c}=0$$ Reemplace ${x\over y}=t$ $${ a{t} }^{ 2 }+b{t}+{c}=0$$

Answer 2

No es necesariamente cierto que un sistema como este tiene cuatro soluciones complejas. En general, las dos curvas de grado 2 que no tienen componentes en común, tienen cuatro puntos de intersección hasta la multiplicidad, pero usted puede tener doble, triple, o cuádruple de puntos debido a la tangencia, y usted también puede tener puntos de intersección "en el infinito": cada línea a través del origen contiene un único punto en el plano proyectivo , que no radica en $\mathbb{C}^2$, y uno o más de sus soluciones puede ser por ahí.

Por ejemplo, $xy=1$ $xy=0$ es un sistema de la forma que usted dio, pero dispone de dos puntos de intersección, de uno en uno "$(\infty,0)$" y uno en "$(0,\infty)$".

Como la otra respuesta indica, un sistema de ecuaciones de esta forma pueden ser manipulados para dar un homogénea cuadrática $Ax^2 + Bxy + Cy^2$, que los factores en dos ecuaciones de líneas, $\alpha x + \beta y = 0$$\gamma x + \delta y=0$. A partir de allí, se buscan los puntos de intersección de las líneas con curvas cuadráticas, que es mucho más sencillo problema.

Hay muy general de las ideas en el trabajo aquí. El general de las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas hacia los puntos de la geometría algebraica, uno de los más profundos, más difícil, y la mayoría de los impresionantes campos de las matemáticas.