Un básico de la duda en una serie infinita problema

Question

Veo en Rudin la siguiente declaración es reivindicada por los siguientes convergente la serie:

$$1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$$

Si $s$ es la suma de esta serie, a continuación,$$s \lt 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$. How is that possible to tell without knowing $ s$ ?

Answer 1

$$S_{2k+1} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) - \ldots -\left(\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}\right) < 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$$ and $S_{2k+1}\s$ implica $$s \leqslant 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) < 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}.$$

Answer 2

Es un hecho conocido: supongamos que usted tiene una disminución de la secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de los números positivos y que $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Entonces la serie $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n $$ converge a un número $s$ y los siguientes se cumple para cualquier número natural $k$: $$ \sum_{n=0}^{2k+1}a_n < s < \sum_{n=0}^{2k} a_n $$

Vamos a demostrar, mediante la inducción en $k$, que la secuencia de $(s_{2k+1})_{k\in\mathbb{N}}$ va en aumento y se $(s_{2k})_{k\in\mathbb{N}}$ está disminuyendo, donde $$ s_k=\sum_{n=0}^k (-1)^n a_n. $$ De hecho $$ s_{2k+3}-s_{2k+1}=-a_{2k+3}+a_{2k}>0 $$ y $$ s_{2k+2}-s_{2k}=a_{2k+2}-a_{2k+1}<0. $$ Por lo tanto, si la alternancia de la serie converge a $s$ debemos tener la desigualdad anterior, debido a que $$ \lim_{k\to\infty}s_{2k+1}=s=\lim_{k\to\infty}s_{2k}. $$

El hecho de que la alternancia de la secuencia converge deriva del hecho de que $$ s_{2k+2}-s_{2k+1}=a_{2k+2} $$ y así podemos hacer que esta diferencia tan pequeña como queramos, ya que la secuencia de $(a_n)$ converge a cero por hipótesis.

Answer 3

Observe que

$$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left( \frac{1}{4}-\dots \right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-a< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

Desde $a>0$.

Nota:

$$a=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots.$$