¿Cuál es el interior de un singleton?

Question

Me preguntaba qué se puede decir sobre el interior de $\{{4}\}$, el conjunto vacío?

El interior de un conjunto $A$ es el mayor conjunto abierto contenido en $A$. Por lo tanto, si el conjunto a mano es un singleton, entonces no es el interior de la singleton es el conjunto vacío?

Answer 1

Depende de la topología.

Si el singleton $\{4\}$ no es un conjunto abierto en la topología, entonces la única subconjunto de $\{4\}$$\emptyset$. Por lo tanto, $$ \operatorname{Int}(\{4\}) = \bigcup \{\text{abrir conjuntos } O \a mediados de O \subseteq \{4\}\} = \bigcup \{\emptyset\} = \emptyset. $$ Por ejemplo, este es el caso de la norma (Euclidiana) la topología en los reales.

Por otro lado, si $\{4\}$ es un conjunto abierto en la topología, a continuación, $$ \operatorname{Int}(\{4\}) = \bigcup \{\text{abrir conjuntos } O \a mediados de O \subseteq \{4\}\} = \bigcup \{\emptyset, \{4\} \} = \{4\}. $$ Por ejemplo, este es el caso de la topología discreta en los reales.

Answer 2

Depende de lo que entendemos por "abrir". Desde $\lbrace 4\rbrace $ es abierta con respecto a la topología en $\lbrace 4\ \rbrace$, $\text{int}(\lbrace 4 \rbrace)=\lbrace 4\rbrace$. Si, por ejemplo, la media de abrir en $\mathbb{R}$,$\lbrace 4\rbrace=[4,4]$, que es cerrado y no abierto, por lo $\text{int}(\lbrace 4\rbrace)=\emptyset$.

Answer 3

Recuerde que cuando un conjunto $A$ está abierto a $int(A) = A$. Por lo tanto, depende en gran medida de la topología de que se trata y cómo se define abrir sets. Considerar la topología discreta y comprobar cómo se comportan los únicos.