Como señalan las otras respuestas (y los comentarios de dmckee), sí, si tomas la raíz cuadrada de una cantidad dimensional entonces también necesitas tomar la raíz cuadrada de las unidades:
$$ \sqrt{4\;{\rm kg}} = 2\;{\rm kg}^{\frac12} $$
Y no, tampoco puedo pensar en una interpretación física significativa para la unidad ${\rm kg}^{\frac12}$.
Sin embargo, en los comentarios dices que te "pidieron graficar una distancia en función de la raíz cuadrada de la masa." Lo que esto significa es simplemente que debes escalar el eje de la masa de forma no lineal, presumiblemente con el fin de mostrar más claramente la relación entre las dos cantidades. Para etiquetar el eje de la masa, básicamente tienes dos opciones:
-
etiquetar el eje como $\sqrt m$, con marcas igualmente espaciadas en, por ejemplo, $1\;{\rm kg}^{\frac12}, 2\;{\rm kg}^{\frac12}, 3\;{\rm kg}^{\frac12}, 4\;{\rm kg}^{\frac12}, \dotsc$, o
-
etiquetar el eje como $m$, con marcas igualmente espaciadas en $1\;{\rm kg}, 4\;{\rm kg}, 9\;{\rm kg}, 16\;{\rm kg}, \dotsc$.
Aunque, técnicamente, ambas opciones son válidas, yo encarecidamente recomendaría la última opción. Simplemente compara estos dos gráficos y mira cuál encuentras más fácil de leer:
![Gráfico con unidades de kg^(1/2), escala de eje lineal]()
$\hspace{60px}$ ![Gráfico con unidades de kg, escala de eje cuadrática]()
Lamentablemente, no todo el software de representación necesariamente soporta este tipo de etiquetado de ejes, o al menos no lo hace fácil, por lo que a veces se ven gráficos con unidades extrañas como ${\rm kg}^{\frac12}$.
$\hspace{60px}$ 
10 votos
Puede resultar instructivo darle la vuelta a las preguntas y ver si ya conoces la respuesta. En este caso, considera preguntar "¿Cambia la unidad si cuadras una cantidad?".
1 votos
@dmckee Bueno, si multiplico o divido dos cantidades juntas, las unidades se multiplican o dividen en consecuencia, entonces si lo elevo al cuadrado, ¿es lo mismo que kg*kg (kg^2) en este ejemplo?
2 votos
Saras, sí. Y como la raíz cuadrada es la inversa de elevar al cuadrado, puedes deducir que las unidades cambian tal como dicen las respuestas a continuación. Con práctica, ese tipo de pensamiento se volverá más natural.
0 votos
@dmckee Pero, ¿qué significaría k^1/2? ¿Tiene sentido? No puedo pensar en ninguna explicación lógica para ello. Me dijeron que representara un gráfico de distancia contra la raíz cuadrada de la masa, ¿debería registrar mi masa con unidades de kg^1/2?
1 votos
No tendría sentido en absoluto; a menos que se multiplicara con otro $\mathrm{kg}^{1/2}$. Esa es una pista. Si llegas al final de algún cálculo y las unidades están desordenadas de esa manera, es posible que hayas cometido un error. Vuelve atrás y verifica tanto tu física como tu matemática.
0 votos
@dmckee Ese es el problema, no realicé ningún cálculo, hice un experimento, registré la masa en kg y tracé un gráfico de la raíz cuadrada de esa masa en el eje x, por lo que no hay forma de que haya cometido un error. ¿Podrían querer decir, al decir raíz cuadrada de la masa, solo sacar la raíz cuadrada del número, no de la unidad, o es eso imposible?
0 votos
@Saras: Para una diversión interesante, busca unidades electrostáticas ($\text{esu}$) = statculombios ($\text{statC}$). A diferencia del SI que define unidades de carga en términos de corriente, las unidades gaussianas definen la carga a través de la ley de Coulomb, con una constante de proporcionalidad $1$: $F = q_1q_2/r^2$. Como resultado, la unidad de carga debe tener dimensionalidad de $\text{masa}^{1/2}\cdot\text{distancia}^{3/2}/\text{tiempo}$.
0 votos
@Saras: Si estás comparando la distancia y la raíz cuadrada de la masa, al elevar al cuadrado ambas cantidades, verás que estás comparando la distancia al cuadrado versus masa. Sospecho que simplemente te están instruyendo a trazar cantidades que puedas comparar fácilmente. Si ese es el caso, simplemente sigue adelante y usa $kg^{\frac{1}{2}}$ como tu unidad. ¿Qué datos estás trazando?
0 votos
Un $kg^{\frac12}$ es como un $J^{\frac12}$-segundo-por-metro :)