Suponga $\tau_n$ es una secuencia de medidas positivas en un espacio medible $(X, \mathcal{F})$ $\sup_n \tau_n(X) < \infty$ $\nu$ es otro finito medida positiva en $(X, \mathcal{F})$. Supongamos $\tau_n = f_n\,d\nu + \mu_n$ es el Lebesgue descomposición de $\tau_n$; en particular, $\mu_n \perp \nu$. Si $\tau = \sum_{n = 1}^\infty \tau_n$ es una medida finita, es$$\tau = \left(\sum_{n = 1}^\infty f_n\right) d\nu + \sum_{n = 1}^\infty \mu_n$$the Lebesgue decomposition of $\tau$?
Respuesta
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Sí.
La composición.
$$\tau (A) = \sum \tau_n (A) = \sum (\int_A f _n d \nu + \mu_n(A)).$$ Por la monotonía de convergencia $\sum \int_A f_n d \nu = \int_A \sum f_n d\nu$. Deje $f=\sum f_n$. A continuación, $f$ es medible y no negativos. También desde $\tau$ es finito, $f\in L^1(\nu)$. Definir la función set $\mu= \sum \mu_n$. Nos muestran esta es una medida. Es claramente positivo. Siguiente:
una. $\mu(\emptyset)=0$.
b. Si $A_1,A_2,\dots$ son disjuntos, entonces
\begin{align*} \mu (\cup A_j)&= \lim_{N\to\infty}\sum_{n\le N} \mu_n (\cup A_j)\\
&= \lim_{N\to\infty} \sum_{n\le N} \sum_j \mu_n (A_j)\\
&= \lim_{N\to\infty} \sum_j \sum_{n\le N} \mu_n (A_j) \\
&= \sum_j \lim_{N\to\infty} \sum_{n\le N} \mu_n (A_j)\\
&= \sum_j \mu(A_j).
\end{align*}
Hemos utilizado la monotonía de convergencia para el cuarto de la igualdad, y la tercera, la igualdad es una declaración acerca de un número finito de suma de la serie de términos positivos.
Por lo tanto, $\mu$ es una medida. Desde $\tau$ es finito, $\mu$ es también finito.
Línea de base: $d\tau = f d\nu + d\mu$ donde $f\in L^1(\nu)$ $\mu$ es finito medida.
- Por la singularidad de Lebesgue de descomposición, todo lo que queda por demostrar es que $\mu\perp \nu$. Ya que para cada $n$ $\mu_n \perp \nu$, existe $A_n$ tal que $\nu (A_n) =\mu_n (A_n^c) =0$. Deje $A=\cup A_n$. Entonces $\nu(A)\le \sum_n \nu(A_n) =0$, y $$\mu(A^c) = \mu( \cap A_n^c) =\sum_n \mu_n (\cap A_n^c) \le \sum \mu_n (A_n^c)=0.$$ Por lo tanto,$\mu\perp \nu$.
