Integración por las piezas con una discontinuidad de salto

Question

Me encontré con el siguiente problema y su solución:

La fórmula de integración por partes $$ \int_{a}^{b}u\frac{dv}{dx}\,dx=uv\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\frac{du}{dx}\,dx $$ es conocido por ser válido para las funciones de $u(x)$$v(x)$, que son continuas y tienen primeras derivadas continuas. Sin embargo, vamos a suponer que $u$, $v$, $du/dx$, y $dv/dx$ son continuas sólo para$a\leqslant x\leqslant c$$c\leqslant x \leqslant b$; suponemos que todas las cantidades puede tener un salto de discontinuidad en $x=c$.

(a) Derive una expresión para $\int_{a}^{b}u\,dv/dx\,dx$ en términos de $\int_{a}^{b}v\,du/dx\,dx$. $$ \int_{a}^{b}u\frac{dv}{dx}\,dx=uv\bigg|_{a}^{b}+uv\bigg|_{c^+}^{c^-}-\int_{a}^{b}v\frac{du}{dx}\,dx. $$

Alguien podría aclarar a mí cómo se obtiene?

Edit: Siguiendo el consejo de Muphrid, obtuve el siguiente:

$$\begin{align} \int_{a}^{c^-}u\frac{dv}{dx}\,dx+\int_{c^+}^{b}u\frac{dv}{dx}\,dx&=uv\bigg|_{a}^{c^-}-\int_{a}^{c^-}v\frac{du}{dx}\,dx+uv\bigg|_{c^+}^{b}-\int_{c^+}^{b}v\frac{du}{dx}\,dx,\\ \int_{a}^{b}u\frac{dv}{dx}\,dx&=\color{red}{uv\bigg|_{a}^{c^-}+uv\bigg|_{c^+}^{b}}-\int_{a}^{b}v\frac{du}{dx}\,dx. \end{align}$$

¿Cuál es la regla para combinar los términos en rojo?

Answer 1

En respuesta a su trabajo de Muphrid:

$$\begin{align} \color{red}{uv\bigg|{a}^{c^-}+uv\bigg|{c^+}^{b}} &= uv(c^-) - uv(a) + uv(b) - uv(c^+) \ &= uv(c^-) - uv(c^+) + uv(b) - uv(a) \ &= uv\bigg|_{c^+}^{c^-} +uv\bigg|^b_a \end {Alinee el} $$

Answer 2

Sugiero que mediante la integración de la habitual fórmula de piezas en el % de intervalos independientes $[a,c)$y $(c, b]$ y luego juntando los dos resultados.

Answer 3

No importa cómo lo deriva, esta fórmula está mal. Considere el ejemplo $$ \int{0}^2 x \, H(x-1) \; dx, $ $ $H(x)$ Dónde está la función de paso de la unidad. Da a modificar los límites para tener en cuenta $H(x-1)$ $$ \int{0}^2 x \, H(x-1) \; dx= \int_{1}^2 x \; dx = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ $

Aplicación de la norma integración por las piezas con $v = \frac{x^2}{2}$ y $u = H(x-1)$ dan la respuesta correcta %#% $ #%

$$ \int{0}^2 x \, H(x-1) \; dx= \frac{x^2}{2} H(x-1) \bigg|{0}^2 - \int_{0}^2 \frac{x^2}{2} \delta(x-1) \; dx = \frac{4}{2} - 0 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. $ Tiene un salto en $u$, el resultado modificado propuesto esta pregunta tiene el término adicional de cero $c=1$ $ por lo tanto, no es correcta la fórmula modificada.