$C$ sea la curva de intersección del cilindro $x^2+y^2=2y$ y el avión $y=z$ para evaluar $\int_C (y+z)dx + (x+z) dy +(x+y) dz$ por el teorema de Stoke?

Question

Dejemos que $C$ sea la curva de intersección del cilindro $x^2+y^2=2y$ y el avión $y=z$ cómo evaluar $\int_C (y+z)dx + (x+z) dy +(x+y) dz$ por el teorema de Stoke? No puedo determinar cuál es mi superficie $S$ sobre el que aplicar el teorema de Stoke . Por favor, ayuda, gracias de antemano

Answer 1

Una pista: $x^2+y^2 = 2y$ se puede reescribir en $x^2 +(y-1)^2 = 1$ y la paramétrica para esto sería la siguiente.

$$\bar r(t) = cost\hat i + (sint+1) \hat j + (sint+1) \hat k$$ $$\bar r'(t) = -sint\hat i + cost \hat j + cost \hat k$$

$$F(\bar r(t)).\bar r'(t) = [2(sint+1)(-sint) + (cost+sint+1)cost + (cost + sint +1)cost] $$

$$\int\int curlF.dS = \int_{0}^{2\pi}F(\bar r(t)).\bar r'(t)dt $$

Lo que al evaluar te da $\boxed{0}$