Demostrar que $\det A = 1$ $A^T M A = M$ y $M = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I &0 \end{bmatrix}$.

Question

Demostrar que $\det A = 1$ $A^T M A = M$ y $M = \begin{bmatrix} 0 & I \ -I &0 \end{bmatrix}$ ($I$ es la matriz identidad de orden n).

Answer 1

La matriz $A$ que usted ha descrito es llamado un simpléctica de la matriz. El resultado que interesa no es trivial, y sigue a partir de una serie de resultados. Para más detalles, consulte la sección 4 de Mackey, Mackey, "En el Determinante de Simpléctica Matrices".

La versión corta es esta:

1. Muestran que todos los $A$ es un producto de $\mathbb{G}$-reflectores, es decir, matrices de una forma $$G = I + \beta u u^T M, \quad \text{for some $\beta \ne 0$, $u \ne 0$}.$$

2. Mostrar que cada una de las $\mathbb{G}$-reflector $G$ tiene un factor determinante $\det G = +1$.