$4^x+6^x=9^x$ $\implies$ $x \notin \mathbb Q$?

Question

¿Existe cualquier número racional $x$ tal que $4^x+6^x=9^x$?

Answer 1

Dividir a través de por $4^x$ conseguir $1 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \left(\dfrac{9}{4}\right)^x$, es decir,$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x} - \left(\dfrac{3}{2}\right)^x - 1 = 0$.

El uso de la fórmula cuadrática, obtenemos $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.

Desde $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x > 0$, debemos tener $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, es decir,$x = \log_{3/2}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Ya que esta es la única solución, basta con mostrar que este número es irracional.

Supongamos $x$ es racional, es decir $x = \dfrac{a}{b}$ para algunos enteros $a,b$$b > 0$.

A continuación, $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{a/b} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, es decir,$\dfrac{3^a}{2^{b-a}} = (1+\sqrt{5})^b$. Claramente, $\dfrac{3^a}{2^{b-a}}$ es racional.

Sin embargo $(1+\sqrt{5})^b = c+d\sqrt{5}$ para algunos enteros positivos $c,d$ (Use el teorema del binomio aquí).

Por lo tanto, $(1+\sqrt{5})^b$ es irracional, una contradicción. Por lo tanto, $x$ es irracional.

Answer 2

Que $u=(3/2)^x$, entonces

$$4^x+6^x=9^x\implies 1+u=u^2$$

Por lo tanto

$$u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$x=\frac{\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}{\ln(3/2)}$$

Por favor, consulte la primera solución por JimmyK4542 para $x$ es irracional.

Answer 3

La ecuación puede ser reescrita como $$1=\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x-1\right).$$ Using $t=\left (\frac {2} {3} \right) ^ x$ obtenemos una cuadrática $t^2+t-1=0$ que soluciona a $$t=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$ $ por razones obvias que ignorar lo negativo de valor y que $x=a/b$ $a,b \in \mathbb{Z}$ $b \neq 0$. Este da %#% $ de #% el lado derecho puede ser demostrado para ser irracional, mientras que el lado izquierdo es racional, así $$\left(\frac{2}{3}\right)^a= \left[\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]^b$.