Una desigualdad de $\int_0^1 |f(x)|dx$

Question

Pregunta:

Si $f\in C^1[0,1]$, muestran que

$$\int_0^1 |f(x)|dx\le\max\left{\int_0^1 |f'(x)|\,dx,\;\bigg|\int_0^1 f(x)\,dx\bigg|\right}.$$

He intentado hacer la conexión entre $|f|$y $|f'|$ mediante el uso de

$$(tf(t))'=f(t)+tf'(t),$$

integrar la ecuación de $t$ $[0,1]$, obtiene

$$|f(1)|\leq \bigg|\int_0^1 f(t)\,dt\bigg|+\int_0^1 |f'(t)|\,dt,$$

pero no es la desigualdad deseada.

Answer 1

Si $f$ es no negativo o positivo, entonces

$$\int_0^1 |f(x)| \; dx \;\; = \;\; \left|\int_0^1 f(x) \; dx\right| \;\; \leq \;\; \operatorname{max}\left(\int_0^1 |f'(x)| \; dx , \left|\int_0^1 f(x) \; dx\right|\right).$ $ De lo contrario, por el teorema del valor intermedio, que $x_0$ ser miembro de $[0,1]$ tal que $f(x_0) = 0$.
Por el teorema del valor extremo, que $x_m$ ser miembro de $[0,1]$ tales que para todos los miembros $x$ $[0,1]$, $|f(x)| \leq |f(x_m)|$.

$\begin{align} \int_0^1 |f(x)| dx &\leq \int_0^1 |f(x_m)| dx \ &= |f(x_m)| \ &= |f(x_m)-f(x0)|\ &= \left|\int{x_0}^{xm} f'(x) dx\right| \ &= \int{x_0}^{x_m} |f'(x)| dx \ & \leq \int_0^1 |f'(x)| dx \ &\leq \operatorname{max}\left(\int_0^1 |f'(x)| dx , \left|\int_0^1 f(x) dx\right|\right). \end {Alinee el} $

QED.

Answer 2

Si $f$ tiene signo constante, entonces $\int_0^1|f(x)|dx=|\int_0^1f(x)dx|$.

Si $f$ no tiene signo constante, entonces hay puntos en $[0,1]$ donde $f$ toma su valor máximo positivo $M$ y su negativa mínima valor $m$. Usted puede demostrar que la integral de $|f|$ es menor que el máximo de $M$ y $-m$, y usando el Teorema fundamental del cálculo, usted puede demostrar que la integral de $|f'|$ es al menos $M-m$.

Answer 3

Vamos a ver cuáles son los distintos integrales a medida, a partir de con $\int_0^1 |f(x)| \, dx$. Imaginar la función de $f$ en el intervalo de $[0,1]$, dividido en las partes donde es positivo, y las partes donde es negativa. El total (sin signo) área de todas las partes es exactamente $\int_0^1 |f(x)| \, dx$.

Siguiente, $\int_0^1 |f'(x)| \, dx$. Sabemos que $\int_0^1 f'(x) \, dx = f(1) - f(0)$, ya que el $f'$ mide la cantidad por la que $f$ es cada vez mayor. Del mismo modo, $|f'|$ mide la cantidad por la que $f$ está cambiando. Divida $f$ en partes donde es creciente y donde es decreciente, y reflejan la disminución de la parte de empezar a $x$ a lo largo de $y = f(x)$. Ahora $\int_0^1 |f'(x)| \, dx$ medir hasta qué punto la modificación de la función alcanza. Supongamos ahora que $f(0) = 0$. En ese caso, tenemos la fácil enlazado $|f| \leq \int_0^1 |f'(x)| \, dx$ en el intervalo de $[0,1]$. Desde $[0,1]$ tiene unidad de longitud, $\int_0^1 |f(x)| \, dx \leq \max_{x \in [0,1]} |f(x)|$, por lo que en caso de $f(0) = 0$ estamos hecho.

Si $f(0) \neq 0$ luego de la envolvente de $\int_0^1 |f'(x)| \, dx$ puede ser terriblemente mal. La situación extrema a la que se al $f$ es constante y, a continuación, la última integral es igual a cero. Así, tenemos que considerar el final de la integral de la $\left| \int_0^1 f(x) \, dx \right|$. Recuerda que divide $f$ en positivo y negativo de las partes. Agregar su declaración de áreas y de retorno de la magnitud para obtener $\left| \int_0^1 f(x) \, dx \right|$. En general, se pueden obtener grandes cancelación de esta manera - de hecho, un simple simétrica de la construcción (como la función seno) ha $\left| \int_0^1 f(x) \, dx \right| = 0$ mientras $\int_0^1 |f(x)| \, dx$ puede ser arbitrariamente grande. Sin embargo, si $f$ nunca cambia de signo, entonces es fácil ver que las dos integrales son iguales.

Así que nos dividimos en dos casos. Si $f$ nunca cambia de signo, a continuación,$\int_0^1 |f(x)| \, dx = \left| \int_0^1 f(x) \, dx \right|$. De lo contrario, suponer sin pérdida de generalidad que $f(0) > 0$. El problema con $\int_0^1 |f'(x)| \, dx$ fue que en su estimación de $\max_{x\in [0,1]} |f(x)|$ faltaba la contribución de $f(0)$. Sin embargo, desde la $f$ cruza por cero, hay en algún lugar una contribución de exactamente $f(0)$, lo que no contribuye a $\max_{x\in [0,1]} |f(x)|$ ($f$ es más bien la disminución de su magnitud). Así que en ese caso también es verdad que $\max_{x\in [0,1]} |f(x)| \leq \int_0^1 |f'(x)| \, dx$, y hemos terminado.