Yo estaba tratando de encontrar a la que la función de la siguiente serie converge. $$ \sum_{n=1}^{\infty} \ln(n)z^n $$ Si tomamos el polylogarithm función de $Li_s(z)$ se define como $$ Li_s(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^s} $$ Entonces es fácil ver que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \ln(n)z^n = - \left( \frac{\partial}{\partial s}Li_s(z)\right)_{s=0} $$
Ahora, mi pregunta es cómo calcular el $ \frac{\partial}{\partial s}Li_s(z)$, utilizando una representación integral para $Li$, como $$ Li_s(z)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty} \frac{zt^{m-1}}{e^t-z} dt $$
Hay alguna solución para esto? Todos mis intentos son claros al respecto, especialmente debido a la derivada de la $\Gamma(s)$.
