Acerca de una afirmación interesante, que involucra conjuntos convexos

Question

Considere la siguiente definición

Definición: Dejar $\Omega \subset R^n$ un almacén de conjunto convexo. Un punto de $x \in \partial \Omega$ es llamado un punto extremal si $x$ no se puede escribir como combinación lineal de la forma $x = tx_1 + (1-t)x_2$ ,$t \in (0,1)$ , $x_1,x_2 \in \partial \Omega$. El conjunto formado por estos elementos se denota por a $E_{\Omega}$.

Estoy leyendo un artículo, y el autor de este escrito:

Deje $\Omega \subset R^n$ un almacén de conjunto convexo.Si el punto de $x \in\partial \Omega$ no es un punto extremal, a continuación, $x$ se puede escribir como una combinación lineal como en el anterior

$$ x = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_i x_i \ \ where \ \ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_i =1, x_i \in \overline{E_{\Omega}}$$

No tengo idea de para probar esto . He buscado cómo, pero no me encuentra nada. alguien me puede dar una referencia o una prueba, por favor? Yo soy un ignorante en teoremas que involucran conjuntos convexos =\

Gracias de antemano

Answer 1

La combinación lineal que escribió se llama una "combinación convexa" y por lo general, usted insistir en que todos los coeficientes de $t_i$ son no-negativos (de lo contrario es un "afín combinación"). La declaración debe ser que cada punto puede ser escrito como una combinación convexa de $n+1$ extremal puntos, no $n$. (Piense en un triángulo en dos dimensiones: usted necesita los 3 vértices para formar combinaciones convexas en el interior del triángulo.)

Tal vez la forma más fácil de ver que la afirmación es verdadera, es en primer lugar tenga en cuenta que el conjunto de todas las combinaciones convexas de extremal puntos forma un conjunto convexo, y es el menor conjunto convexo que contiene el extremal puntos. Así que esto le da una alternativa de definición para el conjunto convexo. (Técnicamente, también es necesario demostrar que el mayor conjunto convexo tiene más extremal puntos, pero esto no es demasiado duro.) Entonces usted necesita para probar que una combinación convexa de más de $n+1$ extremal puntos puede ser reducido a una combinación convexa de $n+1$ extremal puntos. Para ello, tome su extremal puntos y se eleva a una dimensión superior, anexando $1$ como la última coordenada de cada punto. Si usted tiene más de $n+1$ puntos, entonces estos levantó puntos serán linealmente dependientes como vectores y así obtendrá una combinación lineal que es igual a cero. Esto significa que no son los coeficientes de la original de los puntos tales que los coeficientes suman cero y la combinación lineal de los puntos da el vector cero. Así que usted puede añadir un múltiplo de estos coeficientes a su original combinación convexa y hacer al menos uno de los coeficientes $t_i$ igual a cero, mientras que la preservación $\sum_i t_i = 1$ y todos los $t_i \geq 0$. Así que esto quita un punto extremal de su combinación convexa. Puede repetir este proceso hasta que hayas $n+1$ extremal de puntos en la parte convexa de la combinación.