El espacio de Banach$c_0$ es$C^{\infty}$ - sin problemas.

Question

En este papel, J. Eells define esta noción de $C^r$-la suavidad de los espacios de Banach:

Un espacio de Banach $E$ $C^r$- suave, $r \geq 0$, si existe una no trivial (es decir, distinto de cero) $C^r$ función de $\phi : E \rightarrow \mathbb{R}$ con delimitada (no necesariamente compacto) de apoyo.

Luego afirma que el espacio de Banach $$c_0 = \{~(a_1, a_2, a_3, \ldots) : \lim a_n = 0~\},~~\|(a_n)\|_{c_0} = \sup_n |a_n|,$$ es $C^{\infty}$-suave. Mi pregunta es: ¿cómo podemos construir la función suave de haber delimitado el apoyo aquí?

Esto es lo que he estado tratando; tómate tu favorito función suave $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tener compacto de apoyo y de tal manera que:

1. $\phi \equiv 1$ en [-1/4, 1/4];
2. $\phi \equiv 0$ fuera de [-1, 1].

Ahora bien, dado $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$c_0$, definir:

$$\Phi\big((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\big) = \large\prod_{n = 1}^{\infty} \phi(a_n).$$

Tenga en cuenta que el producto está bien definido, ya que los términos $a_n$ son eventualmente, todos dentro de $[-1/4, 1/4]$, y por lo tanto casi todos los términos en el producto son iguales a $1$. Además, esta función se ha acotado el apoyo, ya que si $\|(a_n)\|_{c_0} > 1$, entonces al menos uno de los $a_n$ tiene que ser mayor que $1$ en el módulo y, a continuación, todo el producto es cero.

Mi problema es que no puedo demostrar que esto es diferenciable, mucho menos suave. Gracias por tu entrada!

Answer 1

Pongamos nombre a $\psi_n = \phi \circ \pi_n$, con las coordenadas de las proyecciones de $\pi_n(a) = a_n$. A continuación, $\pi_n$ es lineal y continua, por lo tanto suave. $\phi$ es suave, la composición de las funciones lisas es suave, por lo tanto $\psi_n$ es suave.

Finito de los productos de las funciones lisas son suaves, por lo tanto para todos los $N \in \mathbb{N}$ la función

$$\Phi_N(a) = \prod_{n=1}^N \psi_n(a)$$

es suave.

La suavidad es una propiedad local, así que vamos a arreglar un arbitrario $a \in c_0$. Elegir un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N$ tenemos $\lvert a_n \rvert < \frac18$. En $B_{1/16}(a) = \{b \in c_0 : \lVert b - a\rVert < \frac{1}{16}\}$,$\Phi \equiv \Phi_N$, por lo tanto $\Phi$ es suave en un barrio de $a$.