Tenemos el mapa de $T(A)=A^t$ como se define para $\mathcal M_{n\times n}$, que representa a todos los $n\times n$ matrices. Sabemos que un vector propio de a $T$ es un no-cero $n\times n$ matriz $A$ tal que $A^t=\lambda \cdot A$. Desde $A$ es no-cero, tiene un no-cero de entrada de $a_{ij}$. Sin embargo, la ecuación de $A^t=\lambda \cdot A$ implica que: $$a_{ji}=\lambda a_{ij} \\ a_{ij}=\lambda a_{ji}$$ Substituting, we have that $a_{ij}=\lambda^2 a_{ij} \implica \lambda^2=1 \implica \lambda= \pm 1$. I have verified this response with other sources, and I am quite certain that it is correct. I am stuck on finding the eigenspace, based on these eigenvalues; I know that an eigenspace is the set of all vectors $v$ satisfying $T(v)=\lambda v$. Para una explícita de la matriz, esto es sencillo, pero estoy teniendo problemas para aplicarlo en más de un sentido abstracto. Cualquier ayuda se agradece. Gracias!
Respuesta
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Consideremos primero el subespacio propio correspondiente a $\lambda=1$. Esto es sólo el conjunto de todos esos que $A^T=A$. Para cualquier elemento de la diagonal de las entradas puede ser cualquier cosa que desee, mientras que las entradas fuera de la diagonal debe ser igual al reflejado a lo largo de la diagonal principal. Por lo tanto, nuestro espacio propio es el espacio de todas las matrices de la forma $E_{ij}+E_{ji}$ (donde $E_{ab}$ es una matriz que consta de todos los ceros excepto en la (i,j)th posición, donde hay un 1). Para obtener una base, considerar esas posiciones (i,j) en o por encima de la diagonal principal.
Siguiente, las matrices donde $A^T=-A$. Para las entradas de la diagonal, tenemos $a_{ii}=-a_{ii}$, con lo que la diagonal es todo ceros. Entonces para todas las entradas fuera de la diagonal, $a_{ij}=-a_{ji}$. Por lo tanto, el espacio propio es el espacio de todas las matrices de la forma $E_{ij}-E_{ji}$. Una base puede ser construido teniendo en cuenta solamente las posiciones (i,j) estrictamente por encima de la diagonal principal.
