¿Cómo evaluar la siguiente suma? $\sum_{i = 1}^n \left\lfloor \frac{3n-i}{2}\right\rfloor.$

Question

¿Cuál es el valor de la siguiente suma? ¿$$\sum_{i = 1}^n \left\lfloor \dfrac{3n-i}{2}\right\rfloor.$ $ Especialmente cómo manejar las cantidades de plantas? Esta suma apareció al intentar resolver este problema.

Mi trabajo: Traté de ignorar el piso y suponiendo que contará un $\frac12$ % exactamente $\left\lfloor \tfrac n2 \right\rfloor$veces, pero no coinciden con los valores para los casos de prueba pequeño que resuelve con la mano.

Answer 1

Esta respuesta es solamente para $n$ incluso. $n$ Impar, se puede hacer de manera similar.

Escriba $n=2k$ % entero $k$. \begin{align} \sum{i = 1}^n \left\lfloor \dfrac{3n-i}{2}\right\rfloor&=\sum{i = 1}^{2k} \left\lfloor \dfrac{6k-i}{2}\right\rfloor\ &=\sum{i \textrm{ even}}^{2k} \left\lfloor \dfrac{6k-i}{2}\right\rfloor+\sum{i \textrm{ odd}}^{2k} \left\lfloor \dfrac{6k-i}{2}\right\rfloor\ &=\sum{i=1}^{k} \left\lfloor \dfrac{6k-2i}{2}\right\rfloor+\sum{i=1}^{k} \left\lfloor \dfrac{6k-(2i-1)}{2}\right\rfloor\ &=\sum{i=1}^{k} \left\lfloor 3k-i\right\rfloor+\sum{i=1}^{k} \left\lfloor 3k-i+\frac12\right\rfloor\ &=\sum{i=1}^{k} ( 3k-i)+\sum{i=1}^{k} (3k-i)\ &=2\sum_{i=1}^{k} ( 3k-i). \end {Alinee el}

¿Estoy seguro de este punto que podrá continuar por sí mismo, no puede usted?

Answer 2

Empezamos con un caso especial de la Identidad de Hermite, que dice $\forall x \in \Bbb R, \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor x+ \frac {1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor2x\right\rfloor.$Substituting $x=\frac{3n-(i+1)}{2}$, obtenemos %#% $ #%

Ahora Revise los casos cuando $$\left\lfloor \frac{3n-i}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{3n-(i+1)}{2}\right\rfloor=\left\lfloor3n-(i+1)\right\rfloor=3n-(i+1).$ es par o impar.