Flujo de invariación de la subvariedad implica que el subespacio tangente es insesgada bajo acción del mapa diferencial

Question

Supongamos que usted tiene un sistema de Odas las $$\dot{x} = F(x), \, x \in \mathbb{R}^n,$$ y $x_0$ es un punto de equilibrio de este sistema, es decir,$F(x_0) = 0$. Supongamos que usted tiene un local invariante suave submanifold $\mathcal{M}$ que pasa a través de $x_0$. A nivel local invariante me refiero a que para cualquier punto de $p \in \mathcal{M}$ existe un $\varepsilon > 0$ tal que $\varphi^{t}(p) \in \mathcal{M}$ $\lvert t \rvert < \varepsilon$ donde $\varphi^t$ es el flujo definido por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Yo creo que si estas condiciones se cumplen, entonces $DF(x_0) (T_{x_0}\mathcal{M}) \subset T_{x_0}\mathcal{M}$; $DF(x_0)$ es una matriz de Jacobi para $F(x)$ a punto de $x_0$.

Se siente como si me hubiera encontrado declaración similar en algún lugar antes, pero no recuerdo la referencia exacta. No puedo encontrar un contra-ejemplo o una prueba de esta afirmación desde el principio, a pesar de que definitivamente quiero romper ese rompecabezas si no hay ninguna referencia a ella. Si esta afirmación era cierta, sería mucho simplificar una de mis pruebas, así que esa es la razón por la que estoy tan interesado en ella.

Así que, sobre todo estoy interesado en la referencia de donde esta (o muy similar) declaración había sido demostrado. Si la afirmación es falsa y usted sabe un contra-ejemplo, que sería muy útil (aunque un poco desgarrador).

AÑADIÓ MÁS TARDE

Tengo un boceto de la prueba de esta afirmación (tipo de). Si tomamos cualquier vector $v \in T_{x_0}\mathcal{M}$ existe una curva de $\gamma_v(s)$ tal que $\gamma_v'(0) = v, \gamma_v(0) = x_0,$ y que se encuentra en $\mathcal{M}$. Si elegimos algunos $\tau$ y se aplican $\varphi^{\tau}$ $\gamma_v(s)$obtendremos algún curva de $\tilde{\gamma}_v(s)$ que aún se encuentra en $\mathcal{M}$$\tilde{\gamma}_v(0) = x_0$. Así vector tangente a esta curva tiene que estar en $T_{x_0}\mathcal{M}$. Pero este vector tangente no es sino $DF(x_0)(v)$ y esto implica que $\forall v \in T_{x_0}\mathcal{M}$ siguiente $DF(x_0)(v) \in T_{x_0}\mathcal{M}$.

Answer 1

Desde $F(x_0) = 0$, la de coordinar derivado $\def\M{\mathcal{M}}D F(x_0)=\partial_i F^j(x_0)\,dx^i\otimes\partial_j$ es un bien definido endomorfismo de $T_{x_0} \M,$ define de forma independiente de las coordenadas que usamos para calcular. (Una forma de ver esto es a través de la fórmula de Riemann $\nabla_i F^j = \partial_i F^j + \Gamma_{ik}^j F^k= \partial_iF^j.$) Esto significa que podemos realizar arbitraria suavizar los cambios de coordenadas sin cambiar el significado de $DF$.

Ahora que sabemos que está permitido, la elección de las coordenadas derecha hace que este problema sea muy fácil. Vamos a utilizar submanifold de la rebanada de coordenadas para $\M;$ es decir, local de coordenadas centrado en $x_0$, de modo que $\M$ coincide localmente con el $m-$avión $$\{ x \in \mathbb R^n : x^{m+1} = 0, \ldots, x^n = 0\}.$$

El hecho de que $\M$ es invariante nos dice que $F|_\M$ se encuentra en el mismo plano de coordenadas, es decir, $F^{m+1} = 0,\ldots,F^n = 0$ a lo largo de $\M.$, Lo que claramente tenemos $DF^{m+1}(v) = 0, \ldots, DF^n(v) = 0$ para cualquier dirección $v \in T_{x_0} \M$, lo que nos dice exactamente eso $DF(T_{x_0} \M) \subset T_{x_0} \M.$

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He aquí una alternativa a prueba de hacer de su idea de la OP riguroso. Para cualquier $v \in T_{x_0} \M,$ elegir una curva de $\gamma : (-\epsilon,\epsilon) \to \M$ $\dot \gamma(0) = v$ y considerar los dos-mapa de parámetro $\sigma(s,\tau) = \varphi^\tau \gamma(s).$ Desde $\varphi$ es el flujo de $F,$ diferenciación de este con respecto a $\tau$ rendimientos $\partial_\tau \sigma(s,0)=F(\gamma(s))$, lo que nos puede diferenciar con respecto a $s$ encontrar $$\partial_s \partial_\tau \sigma(0,0) = DF(\dot \gamma(0))=DF(v).$$ On the other hand, since $F(x_0) = 0$ and $\M$ is invariant, we know that for any $\tau$ the curve $\varphi^\tau \gamma$ starts at $x_0$ and stays in $\M$; so $\partial_s \sigma(0,\tau) \en T_{x_0} \M$ for each $\tau$ and thus $\partial_\tau \partial_s \sigma(0,0) \en T_{x_0} \M.$ derivadas Parciales de viaje, por lo que estamos por hacer.

Answer 2

Su idea para una prueba, realmente funciona. Voy usar la notación. Así que tenemos $v\in T_{x_0}\mathcal{M}$ y una ruta de acceso $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to\mathcal{M}$ $\gamma(0)=x0$ y $\dot{\gamma}(0)=v$. Extendamos $\gamma$ a una familia lisa de curvas, $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\times(-\epsilon,\epsilon)\to\mathcal{M},$ tal que $s\mapsto\gamma(0,s)$ es la ruta original y $$\frac{\partial}{\partial t}\gamma(t,s)=F(\gamma(t,s)).$$ Then $$dF{x0}(v)=\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}\gamma(0,0)=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial s}\gamma(0,0).$$ But for every $t $ we have $$\frac{\partial}{\partial s} (\gamma(t,0))\in T{x_0}\mathcal{M},$$ and this means that the $t # $-derivado también se encuentra en el mismo espacio tangente.