¿Qué hace el degradado "con respecto a un vector de posición" significa?

Question

Yo estaba estudiando John R. Taylor, el libro de la Mecánica Clásica y se introdujo un confuso concepto en la página 140 (edición de 2005):

$$\nabla_1 = (\frac{\partial}{\partial x_1}+\frac{\partial}{\partial y_1}+\frac{\partial}{\partial z_1})$$

Donde

$$\mathbf r_1 = (x_1+y_1+z_1)$$

Él llama a esto "el gradiente con respecto a las coordenadas de $\mathbf r_1$". En general, ¿cuál es el gradiente con respecto a un vector de posición? No es el gradiente (en física) sólo depende de donde nos sentamos nuestro eje x y nuestro eje y? En otras palabras, siempre he sabido que el degradado como:

$$\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z})$$

(Si el contexto lo da una pista, él estaba hablando sobre el gradiente de un potencial de $U$ aislado en un, dos sistema del cuerpo en la que las posiciones de las dos partículas se $\mathbf r_1$$\mathbf r_2$, y el argumento es que la fuerza sobre la partícula 1 debido a las partículas del 2 $\mathbf F_1 = -\nabla_1U(\mathbf r_1-\mathbf r_2)$. Lo mismo aplica para la partícula 2 intercambiando 1 con 2 en la última fórmula.)

Answer 1

Su fórmula para el gradiente de obras para una función que depende de la posición $(x,y,z)$. Pero, la posición de qué? En esta situación, hay dos partículas, cada una con su propia $(x,y,z)$, por lo que su fórmula no tiene sentido.

El potencial de $U$ depende de las posiciones de ambas partículas. $\nabla_1$ , sólo significa que él mantiene la segunda partícula fija, para tomar la derivada con respecto a la primera posición de la partícula. Es una forma de "derivadas parciales". (No he leído el libro, sin embargo.)

Una derivada direccional es un escalar, pero este gradiente es un vector (como cualquier fuerza debe ser).

La ecuación de la fuerza está diciendo que la primera partícula se acelera en la dirección en la que sería la disminución de la energía potencial del sistema.

Answer 2

Este cuadro ilustra el significado.

Answer 3

Editar (Gradiente):

De acuerdo a [Página 8, 2], "El gradiente de un vector $ \vec {b}$ resultados en un tensor $ \textbf T$:

$$grad \ \vec {b} = \nabla \otimes \vec {b} = $$

\begin{bmatrix}\frac{\partial b_{x}}{\partial x}&\frac{\partial b_{y}}{\partial x}&\frac{\partial b_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial b_{x}}{\partial y}&\frac{\partial b_{y}}{\partial y}&\frac{\partial b_{z}}{\partial y} \\ \frac{\partial b_{x}}{\partial z}&\frac{\partial b_{y}}{\partial z}& \frac{\partial b_{z}}{\partial z} \end{bmatrix}

Usted sólo tiene que multiplicar el potencial, si es un escalar.

En una nota lateral:

Para ser sincero, yo soy un novato y no estoy muy seguro acerca de su situación, pero me recuerda a la divergencia de un vector[1-3]. La divergencia de un vector da un escalar[Capítulo 2, 2].

$$ div \ \vec {r} =\nabla \bullet \vec {r} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{i}} r_{i} = \frac{\partial r_{1}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial r_{2}}{\partial {x_{2}}}+\frac{\partial r_{3}}{\partial x_{3}} = \frac{\partial r_{1}}{\partial x} + \frac {\partial r_{2}}{\partial y}+ \frac{\partial r_{3}}{\partial z}$$

Ya que estoy hablando de la divergencia, voy a dar una definición de Anton[3].

div $\vec {F}(x,y,z) =$ de la densidad de flujo de $\vec {F}$ a (x,y,z). La densidad de flujo en (x,y,z) es una medida de la velocidad a la cual el líquido se aproxima o saliendo desde el punto (x,y,z)[3].

Espero que esto ayude un poco.

Edit: También, yo creo que su potencial con el vector puede ser ampliado por los siguientes productos regla general, si U es un escalar.

$$\nabla \bullet (\vec {r}U) = \vec {r} \bullet \nabla U + U \nabla \bullet \vec{r} \ [Page \ 9,2]$$

Referencias:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence#Cartesian_coordinates

[2] Tobias Holzmann. Las matemáticas, los Números, los Cálculos, y OpenFOAM. Al Banco (2017, 17 De Noviembre). Disponible en: holzmann-cfd[de]. Disponible en: https://holzmann-cfd.de/publications/mathematics-numerics-derivations-and-openfoam ; Disponible en: https://www.scribd.com/document/371630911/Mathematics-Numeric-s-Derivations-and-Open-Foam

[3] Anton, Howard. (1992). Cálculo con geometría analítica-4ª Edición. Anton Libros De Texto, Inc.