Uso de la conectividad para definir la topología

Question

He tenido la idea de definir algún tipo de "topología" en los números enteros con fines gráficos. Sin embargo, no sé si esto es abordable desde el marco topológico estándar.

La idea es definir la "conectividad" indicando qué subconjuntos de los enteros están conectados. Sea $C$ sea una colección de subconjuntos en los números enteros que se declaran conectados. Para cada número entero $i$ existe un subconjunto conexo de los números enteros, y que es $\{i-1,i,i+1\}$

Es $C$ junto con los enteros es una topología? Estoy planeando utilizar este concepto para el estudio topológico de gráficos por ordenador o visuales pixelados. Supongo que una pregunta mejor sería ¿Puede bastar con declarar qué subconjuntos están conectados para definir una topología única?

Answer 1

Esto es posible si se renuncia al requisito de que su topología sea T $_1$ Y ya se ha hecho, con bastantes trabajos. Busca en Google la línea de khalimsky o la topología digital, incluiré alguna referencia y comentarios un poco más adelante.

La idea general es que se declara que cada entero impar es un conjunto abierto (como en la topología habitual) pero los enteros pares no son abiertos (aunque como siempre cada uno cerrado). Cada entero par $2n$ tiene una vecindad mínima que consiste en ella misma junto con los dos enteros vecinos de impar, llamada línea de Khalimsky. Esto hace que el conjunto de todos los enteros sea conectado, y se han estudiado los llamados COTS (espacio topológico ordenado conectado). El cuadrado de la línea de Khalimsky es el plano de Khalimsky, e incluso existe un teorema de la curva de Jordan para el plano de Khalimsky.

Este es sólo uno de los primeros artículos sobre este tema (se pueden encontrar muchos más), no sólo en Google, sino que una búsqueda en el sitio web de MSE arroja muchos resultados sobre topología digital).

Kong, T. Yung; Kopperman, Ralph; Meyer, Paul R.
Un enfoque topológico de la topología digital.
Amer. Math. Monthly 98 (1991), nº 10, 901-917. Puede descargarse en http://www.jstor.org/stable/2324147

También, Topología Digital, Azriel Rosenfeld
The American Mathematical Monthly
vol. 86, nº 8 (oct., 1979), pp. 621-630 https://www.jstor.org/stable/2321290

Ralph Kopperman,
La línea Khalimsky como base de la topología digital
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-03039-4_2

Erik Melin, Conectividad y continuidad en espacios digitales con la topología de Khalimsky
https://pdfs.semanticscholar.org/4e0f/3df375796f6c4dd7ab02980fbff402feef35.pdf http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:306620/FULLTEXT01.pdf

Answer 2

No. Considera $X=\{a,b\}$ con la topología $\{\emptyset, a, X\}$ . Todos los conjuntos no triviales son conexos, pero podemos definir también la topología discreta sobre $X$ .

Answer 3

No hay topología en $\mathbb{Z}$ cuyos conjuntos conectados son precisamente $C \cup \{\mathbb{Z}\}$ .

Para ver esto, supongamos que tenemos tal topología, y consideremos el conjunto $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ . Este conjunto no está conectado ya que no está en $C$ por lo que hay dos conjuntos abiertos disjuntos $A$ y $B$ tal que $(A \cap S) \cup (B \cap S) = S$ . Uno de estos conjuntos debe contener todos los $\{1,2,3\}$ Si no es así $\{1,2,3\}$ no se conectaría. Del mismo modo, el otro conjunto debe contener todos los $\{4,5,6\}$ lo que significa que sin pérdida de generalidad $A\cap S = \{1,2,3\}$ y $B\cap S = \{4,5,6\}$ . Pero esto significa que $A$ y $B$ son conjuntos abiertos disjuntos que cubren $\{2,3,4\}$ , contradiciendo el hecho de que $\{2,3,4\}$ está conectado.