Mostrar $2+\alpha$ es una raíz primitiva de $\mathbb{F}_{25}$.

Question

Supongamos $\alpha \in \mathbb{F}_{25}$ es un elemento con $\alpha^2 = 2$, tengo que demostrar que $2+\alpha \in \mathbb{F}_{25}$ es una raíz primitiva (que es: un generador del grupo cíclico $\mathbb{F}_{25}^\ast$ de la orden de 24).

Hasta el momento, he intentado lo siguiente. Desde $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_{5^2}$, considere la posibilidad de $f = X^2+X+2 \in \mathbb{F}_5[X]$. Este es irreducible, ya que no tiene raíces en $\mathbb{F}_5$. Además, hemos $$ f(2+\alpha) = (2+\alpha)^2+(2+\alpha)+2 = \alpha^2 + 4\alpha + 4 + 2 + \alpha + 2 = \alpha^2 + 3 = 5 = 0. $$ Por lo que se deduce que el $f$ es el polinomio mínimo de a $2+\alpha \in \mathbb{F}_{25}$, por lo tanto $$ \mathbb{F}_{5}(2+\alpha) \cong \mathbb{F}_5[X]/(X^2+X+2) \cong \mathbb{F}_{25}. $$ Cómo proceder a partir de aquí, sin embargo?

Answer 1

Supongamos que $2+\alpha$ no es una raíz primitiva; entonces su multiplicativo fin es un buen divisor de $24$, por lo que divide a cualquiera de las $8$ o $12$. Calcular $(2+\alpha)^8$$(2+\alpha)^{12}$. Ayuda a primer lugar, calcular $(2+\alpha)^4$.

---

En una nota de lado; sus esfuerzos para mostrar que $\Bbb{F}_5(2+\alpha)\cong\Bbb{F}_{25}$ parece perdido a mí. Después de todo, está claro que $\Bbb{F}_5(2+\alpha)=\Bbb{F}_5(\alpha)$, $\Bbb{F}_5(\alpha)=\Bbb{F}_{25}$ porque $2$ no es un cuadrado en $\Bbb{F}_5$. A lo mejor, su hallazgo de que la $2+\alpha$ es una raíz de $X^2+X+2$ ayuda a mostrar que $2+\alpha$ es una raíz de la $24$th cyclotomic polinomio $\Phi_{24}$, los factores que más de $\Bbb{F}_5$ $$\Phi_{24}(X)=X^8-X^4+1=(X^2+X+2)(X^2+X+3)(X^2+3X+3)(X^2+4X+2).$$ No sé de una manera fácil de encontrar que la factorización de la mano, y de conectar $2+\alpha$ a $\Phi_{24}(X)=X^8-X^4+1$ es de alrededor de tanto trabajo como computación en la $(2+\alpha)^8$$(2+\alpha)^{12}$.

Answer 2

Me puedo resistir la tentación de señalar la siguiente alternativa que nos permite utilizar la fórmula de Moivre aquí.

Observa que en la $\Bbb{F}_5$ tenemos $2=-3$. Por lo tanto $$ z=2+\alpha=-3+\sqrt{-3}=-3+ i\sqrt3 $$ para un adecuado sentido de la $i$. Cuando se ve como un complejo número de $z$ tiene valor absoluto $2\sqrt{3}$ y el argumento de $5\pi/6$. Por lo tanto, $z^3$ tiene valor absoluto $24\sqrt3$ y el argumento de $\pi/2$. En otras palabras, por la misma elección de $i$ anterior) $$ z^3=24i\sqrt3 \equiv-i\sqrt3\implica z^6=-3. $$ De continuar a partir de aquí es fácil: $z^{12}=9\equiv-1$ como se esperaba, y $z^8=-3z^2$ puede ser reducido utilizando el polinomio mínimo que usted trabajó.