Considere la ecuación de $2\cos^2x-\cos x-1=0$. Podemos factorizar el lado izquierdo para obtener: $$(2\cos x + 1)(\cos x-1)=0,$$ leading to three solutions in the interval $[0,2\pi)$, namely $x=0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$. If we want all solutions over $\Bbb R$, then we can add any multiple of $2\pi$ a cada una de estas soluciones.
Sin embargo, todas las soluciones sobre $\Bbb R$ se expresa de manera más eficiente simplemente como múltiplos enteros de $\frac{2\pi}{3}$. Que tipo de solución es lo que uno esperaría de un problema que empezó a salir con algo como $\cos (3x)=1$. Sin embargo, si ampliamos $\cos(3x)$ mediante el uso de fórmulas de suma, que la ecuación nos lleva a otro polinomio en $\cos(x)$, es decir: $$(2\cos x+1)^2(\cos x-1)=0.$$
Así, es claro que ambos polinomios tienen las mismas raíces, y que "explica" por qué los conjuntos de soluciones son las mismas. Gran.
Mi pregunta: ¿hay una manera razonable para reconocer la simetría en la ecuación original, y transformarla en una ecuación en la $\cos(3x)$, otros que saber de antemano cómo se va a trabajar fuera?
