¿En la ausencia de límites de los codominios, hacer evaluación i conserva límites?

Question

Considere la posibilidad de un diagrama de $K:\mathsf J\longrightarrow [\mathsf C,\mathsf D]$ así como la evaluación de los functors $\operatorname{ev}_C:[\mathsf C,\mathsf D]\to \mathsf D$. El hecho de límites en functor categorías son calculadas pointwise cantidades a la siguiente.

Suponiendo que cada una de las $\operatorname{ev}_C\circ K$ tiene un límite, estos límites vienen juntos para definir un límite de $K$. En consecuencia, cada evaluación functor conserva y límites de la evaluación functors "conjuntamente crear límites".

Como un ejercicio que me han dicho para demostrar que sin ningún tipo de supuestos, la evaluación functors preservar los límites (y colimits). Sin embargo, yo no veo por qué esto debe ser así. La existencia de un límite para cada compuesto $\operatorname{ev}_C\circ K$ es utilizado para la construcción de limitar el piso de arriba (usando propiedades universales), y que es lo que hace a la preservación obvio. No entiendo por qué el límite de la functor $K$ debe evaluar a los límites de $\operatorname{ev}_C\circ K$ en general.

Estoy equivocado o hay un contraejemplo? (Empecé a tocar el violín con los diagramas, pero estoy esperando algunas trivial contraejemplo.)

Answer 1

Tome $\mathbf C$ a ser la categoría con una no-identidad de morfismos, $\mathbf D$ a ser la categoría con tres de identidad no morfismos $A\to B\leftleftarrows C$, e $\mathbf J\xrightarrow{K}[\mathbf C,\mathbf D]=\mathbf D^\to$ dos copias de los morfismos $A\to B$ ($\mathbf J$ es la categoría con dos objetos).

A continuación, como morfismos $A\to B$ es su plaza, porque la única morpisms a que son conmutativas plazas de sí misma y se $A\xrightarrow{\mathrm id_A}A$, pero su codominio $B$ no tiene una plaza debido a que el par de morfismos $B\leftleftarrows C$ único factor de forma conjunta a través de sí mismos, mientras que el redundantes par de morfismos $A\to B$ único factor a través de$A$$B$.

A continuación es de mi razonamiento para llegar a esta mínima contra-ejemplo.

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En la ausencia de límite de condiciones en una categoría, un buen reemplazo para la noción de un límite-la preservación de functor es la noción de un plano functor. Explícitamente, dado un diagrama de $\mathbf J\xrightarrow{K}\mathbf E$, un functor $\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$ $K$-plano si cualquier cono sobre el diagrama de $\mathbf J\xrightarrow{K}\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$ factores a través de la imagen de un cono sobre $\mathbf J\xrightarrow{K}\mathbf E$. Esta noción es bueno porque a) si $\mathbf J\xrightarrow{K}\mathbf E$ tiene un (débil) límite de $\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$ $K$- plano si y sólo si se conserva este (débil) límite, b) el derecho a adjoints son planas para todos los diagramas, c) el general adjunto functor teorema dice que cuando $\mathbf E$ es de Cauchy-completa el nivel local pequeño, $\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$ tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si $\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$ es plana para los pequeños diagramas y objetos de $\mathbf D$ satisfacer el conjunto de soluciones condición (es decir, tienen "pequeño prereflections") con respecto al $\mathbf E\xrightarrow{F}\mathbf D$.

En su situación, un cono sobre $\mathbf J\xrightarrow{K}[\mathbf C,\mathbf D]\xrightarrow{\mathrm{ev}_{c_0}}\mathbf D$ es, por supuesto, un objeto de $d\in\mathbf D$ equipada con una familia de morfismos $d\to K(j,c_0)$ natural en $j$.

Por otro lado, un cono sobre $\mathbf J\xrightarrow{K}[\mathbf C,\mathbf D]$ es un functor $\mathbf C\xrightarrow{X}\mathbf D$ equipados con las naturales transformaciones $X\Rightarrow K$, es decir, una familia de morfismos $X(c)\to K(j,c)$ $\mathbf D$ natural tanto en $j$$c$.

Por lo tanto, la evaluación en $c_0$ es plano si toda familia de morfismos $d\to K(j,c_0)$ natural, en $j$, factores como $d\to X(c_0)\to K(j,c_0)$ para una familia de morfismos $X(c)\to K(j,c)$ natural en $j$$c$. Para un mínimo de contraejemplo, vemos que $J$ vacío o a la categoría con un objeto no puede trabajar, por lo tanto debemos tomar para tener al menos la categoría con dos objetos. A continuación, se limita a asegurar que un par de morfismos $d\rightrightarrows K(j_0,c_0), K(j_1,c_0)$ no de forma conjunta, el factor de $d\to X(j,c_0)\to K(j,c_0)$ para una familia de morfismos $X(j,c)\to K(j,c)$ que es natural en $c$.

Porque la única razón por la que este iba a romper ahora es connaturalidad, por un mínimo de contra-ejemplo que podemos dar $\mathbf C$ a ser la categoría con dos objetos y una sola no-identidad de morfismos entre ellos. A continuación, el diagrama de $K$ es simplemente un par de morfismos en $\mathbf D$, y queremos establecer $\mathbf D$, de modo que los dos morfismos de tener un producto, pero el dominio o codominio de que el producto no es el producto de sus dominios o codomains.

Teniendo en cuenta que los dos morfismos no tiene que ser distinta, llegué a el por encima de contra-ejemplo.

Answer 2

Creo que el siguiente proporciona un contraejemplo : tome $C$ a ser el poset $\{0\leq 1\}$, e $D$ ser el poset $\{x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,z\}$ donde $x_i\leq y_i$ para todos los $i$, $x_1\leq x_2$, $x_1\leq x_3$ (de igual manera para la $y_i$), y por otra parte $z\leq y_2$$z\leq y_3$. El functor categoría $[C,D]$ es lo mismo que la categoría de flechas de $D$, que, desde el $D$ es un poset, es la misma cosa como pares de $(a,b)$ que $a\leq b$, y hay una (única) flecha $(a,b)\to (a',b')$ si y sólo si $a\leq a'$$b\leq b'$.

Ahora $(x_1,y_1)$ es el producto de $(x_2,y_2)$$(x_3,y_3)$; de hecho, si $(a,b)$ tiene flechas a$(x_2,y_2)$$(x_3,y_3)$, entonces tenemos que tener en $a\leq x_2$$a\leq x_3$, lo que obliga $a=x_1$, y desde $x_1\leq b\leq y_2$$b\leq y_3$, debemos tener bien $b=x_1$ o $b=y_1$. Por lo tanto, en cualquier caso, tenemos una (necesariamente único) flecha $(a,b)\to (x_1,y_1)$. Pero tenga en cuenta que $y_1$ no es en realidad el producto de $y_2$$y_3$, ya que no hay ninguna flecha entre el$y_1$$z$.