El producto triple de Jacobi proviene de la fórmula del carácter de Weyl?

Question

A partir de la fórmula del carácter de Weyl se dice que la representación irreducible del álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ con mayor peso $\lambda$ tiene carácter $$\frac{1}{\prod(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})}\sum_{w\in W} (-1)^w e^{w(\lambda+\rho)}$$ donde el producto es sobre las raíces positivas y $\rho$ es la mitad de la suma de las raíces positivas. La representación trivial (!) con $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ es la identidad de Vandermonde $$\det \begin{pmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^n&x_2^n&\cdots&x_n^n \end{pmatrix}=\prod_{i<j}(x_j-x_i)$$

$$\text{}$$ He oído* que la identidad del producto triple de Jacobi $$\prod \left( 1 - x^{2n}\right) \left( 1 + x^{2n-1} y^2\right) \left( 1 +x^{2n-1}y^{-2}\right) \ = \ \sum x^{n^2} y^{2n}$$ es un caso de representación trivial de una versión "Kac-Moody" de la fórmula de caracteres de Weyl.

Si esto es cierto, ¿qué dice esta fórmula de carácter general y qué otras identidades clásicas como ésta implica? ¿Hay un contenido geométrico/teórico de la representación en estos resultados?

$$\text{}$$ $$\text{}$$ *En la página 221 de 'Moonshine, Beyond the Monster'' (que da la fórmula del personaje Kac-Moody, pero no su relación con dichas identidades).

Answer 1

El libro de Kac Álgebras de Lie de dimensión infinita contiene la versión general de la fórmula de caracteres de Weyl. Es

$$\mathrm{ch}(L(\lambda))=\frac{1}{\prod_{\alpha \in R^+} (1-e^{-\alpha})^{\mathrm{mult}(\alpha)}} \sum_{w \in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \cdot \lambda},$$

donde escribimos $w \cdot \lambda=w(\lambda+\rho)-\rho$ para el acción de punto del grupo de Weyl, y $\mathrm{mult}(\alpha)$ es la dimensión del $\alpha$ -espacio raíz en el álgebra de Kac-Moody $\mathfrak{g}$ . Este es el teorema 10.4 (página 173 de mi tercera edición). Evidentemente, si obtenemos otra fórmula para el carácter de $L(\lambda)$ esta igualdad produce una identidad (posiblemente) interesante.

El caso "trivial" ya es interesante. Cuando $\lambda=0$ Así que $L(\lambda) \cong \mathbf{C}$ es unidimensional, esto implica una generalización de la identidad del triple producto. La identidad del triple producto se da para el álgebra de Kac-Moody $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ que es (esencialmente) una cierta extensión central del álgebra de bucles de $\mathfrak{sl}_2$ (véase el ejemplo 12.1 en la página 218).

La identidad del triple producto de Jacobi no es, por supuesto, la única $q$ -identidad de serie que puede obtenerse utilizando la teoría de la representación. Para otros, se necesita otra forma de calcular el carácter de $L(\lambda)$ . Una ruta, a través de los operadores de vértice, conduce a las identidades de Rogers-Ramanujan, donde las representaciones relevantes de $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ son de nivel 3. Puede ver, por ejemplo Una nueva familia de álgebras subyacentes a las identidades de Rogers-Ramanujan y sus generalizaciones de Lepowsky y Wilson, para ver un esbozo de las ideas implicadas y referencias a más detalles.