3 rojo, 3 azul y 3 cuentas verdes están dispuestas en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad que cada grano tiene al menos un vecino tira de otro color?

Question

Todos los arreglos posibles de los granos en el círculo son 9!. Si partimos de una cuenta específica a que atribuimos el número 1 (el punto de partida), entonces el número de arreglos posibles de los 3 colores es $\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3} = \frac{9!}{3!3!3!}$

¿Me parece que es imposible para que todos los granos que granos vecinos del mismo color - siento que falta algo?

Answer 1

No todas las cuentas rojas tienen un vecino de otro color si y sólo si las cuentas rojas se colocan en puntos consecutivos.

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Deje $R$ denotar el caso de que las cuentas rojas se colocan en puntos consecutivos.

Deje $B$ denotar el caso de que el azul de bolas se colocan en puntos consecutivos.

Deje $G$ denotar el caso de que el verde de los granos se colocan en puntos consecutivos.

Entonces a es $1-\mathsf P(R\cup B\cup G)$ y con la inclusión/exclusión y la simetría nos encontramos con que esto es igual a:

$$\begin{aligned}1-3\mathsf{P}(R)+3\mathsf{P}(R\cap B)-\mathsf{P}(R\cap B\cap G) & =1-\mathsf{P}\left(R\right)\left[3-3\mathsf{P}\left(B\mid R\right)+\mathsf{P}(B\cap G\mid R)\right]\\ & =1-\frac{9}{\binom{9}{3}}\left[3-3\frac{4}{\binom{6}{3}}+\frac{2}{\binom{6}{3}}\right]\\ & =\frac{41}{56}\\ & \approx0,732142857 \end{aligned} $$

Observar que no se $\binom93$ distintos tripletas de puntos y por $9$ de ellos las manchas son consecutivos.

Esto explica $\mathsf P(R)=9/\binom93$.

Bajo la condición de evento $R$ hay $6$ consecutivos manchas de la izquierda, por lo que hay $\binom63$ triples en total de los cuales, $4$ son consecutivos y $2$ de los cuales son tales que los eventos de $G$ $B$ se presentan ifthey son poseídos por ejemplo, perlas azules.