El habitual en las construcciones de la protuberancia de las funciones soportadas en un intervalo de $[a,b]$ se basan en la no-analítica de la función $f(x) = e^{\frac{1}{(x-a)(x-b)}}$. Sin embargo, el $n$-ésimo orden derivados de estas funciones son muy altos (de hecho, crecen exponencialmente con la $n$).
Me pregunto si uno puede controlar algunos de los derivados (en detrimento, por ejemplo, de los otros). En mi aplicación, me gustaría construir la siguiente función:
Pregunta: ¿Es posible construir un bache de la función $\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, que satisface:
$$ \phi(x) = \begin{cases} x^2 \,\,\,, |x| \leq 1\\ 0\,\,\,, |x|\geq 2\\ \end{casos} $$
y $$ \phi''(x) \leq 2 \,\,\, \forall x \in [1,2] ? $$
Para dar un poco de contexto, esta función es útil en el llamado virial-como identidades en Dispersivas no Lineales del PDE. Si $u_0 \in H^1\left(\mathbb{R}^N\right)$ es tal que $|\cdot |u_0 \in L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$, la solución de $u(x,t)$ de la ecuación: $$ \begin{cases} \partial_t u + \Delta u + |u|^{p-1}u = 0\\ u(x,0) = u_0(x) \end{casos} $$
También satisface $u(\cdot,t) \in H^1\left(\mathbb{R}^N\right)$ $|\cdot|u(\cdot,t) \in L^2\left(\mathbb{R}^N\right)$ para todo t en el tiempo de existencia de la solución. Por otra parte, tenemos la desigualdad: $$ \frac{d^2}{dt^2} \int |x|^2 |u(x,t)|^2 dx \leq C E[u_0] $$
lo que nos permite probar el blow-up en algunos casos.
Sin embargo, si una cae, la decadencia de la asunción, el plazo $|x|^2$ en la integral debe ser reemplazado por algún compacto admite la función. Me gustaría utilizar la función de $\phi$ anterior, y el obligado en la segunda derivada sería útil en el control de algunos de los términos de error. El obvio intento, que es multipliyng $|x|^2$ a través de una función constante (e igual a 1) en un barrio de el origen y constante (e igual a 0) de distancia desde el origen no parece funcionar.
