¿Esto prueba que ningún cuadrado secuencial tiene una proporción de 2?

Question

El objetivo: demostrar que no hay un número entero$k$ tal que${(k+1)^2\over{k^2}}=2$.

Mi prueba: si${(k+1)^2\over{k^2}}=2$, luego${{k+1}\over{k}}=\sqrt2$, y si$k$ es un número entero,$k+1$ también es un número entero. Esto implica que$\sqrt2$ es un número racional, que también es demostrablemente falso .

Answer 1

Otro argumento: O bien$k$ o$k+1$ es par, el cuadrado de eso es divisible por$4$, el otro es impar, por lo que la proporción no puede ser$2$.

Answer 2

¿Qué tal resolver la ecuación:$(k+1)^2=2k^2$ para$k\ne 0$?

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Entonces$$(k+1)^2=2k^2$ o$$k^2+2k+1=2k^2$, ninguno de ellos son enteros, porque puedes probar que$$k^2-2k-1=0$ es un número irracional (pero saber que no es un número entero es suficiente aquí).

Para su método, el único error menor que cometió es:

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Answer 3

La prueba está bien, pero no es necesario invocar la irracionalidad de $\sqrt2$. Basta tener en cuenta que para

$$f(k)={(k+1)^2\over k^2}=\left(1+{1\over k}\right)^2$$

(con $k\not=0$), tenemos $f(k)\lt1$ si $k\lt0$ y

$$f(1)\gt f(2)=9/4\gt2\gt16/9=f(3)\gt f(4)\gt\cdots$$

Answer 4

Si desea invocar la irracionalidad de la $\sqrt 2$, puede resultar mucho más fuerte de resultado, que no hay dos cuadrados perfectos $m^2$ $n^2$ puede existir a fin de que $\frac{m^2}{n^2} = 2$. Es tan simple como tomar la raíz cuadrada de ambos lados y tomando nota de la racionalidad de un lado y la irracionalidad de los otros.

La razón por la que estoy llevando esto es debido a que usted menciona en un comentario que este era un problema que ocurrió, así que pensé que sería bueno llevar a un mejor resultado de la conjetura.

Answer 5

Sólo para ser diferente:

$\frac {(k+1)^2}{k^2} = \frac {k^2 + 2k + 1}{k^2} = 1 + \frac {2k + 1}{k^2}$

Así $\frac {(k+1)^2}{k^2} = 2\implies \frac {2k + 1}{k^2} = 1 \implies$

$2k + 1 =k^2$ y $k \ne 0$ (lo contrario $2 = 0$ que no es cierto)

$2 + \frac 1k = k$. Pero si $k \ne \pm 1$ $\frac 1k$ no es un entero.

Y si $k = \pm 1$ y $\frac 1k = k$ y $2 = k -\frac 1k = 0$ que es imposible.

....

Pero en serio...

$\frac {(k+1)^2}{k^2} = (\frac {k+1}{k})^2 = 2$ implica un número racional cuyo cuadrado es $2$ que es bien sabido que son falsos, si una prueba irrefutable y perfecta. Y probablemente el más fácil del absoluto.