¿Es el resultado de un examen de un binomio?

Question

Aquí es un simple estadísticas de la pregunta que me había dado. No estoy muy seguro de que yo lo entiendo.

X = el número de hecho de los puntos en un examen de opción múltiple y respuesta correcta es un punto). Es X binomial distribuido?

El profesor de la respuesta fue:

Sí, porque sólo hay respuestas correctas o incorrectas.

Mi respuesta:

No, porque cada pregunta tiene un diferente "el éxito de la probabilidad" p. Como me hizo entender una distribución binomial es una serie de Bernoulli-experimentos, que cada uno tiene una simple resultado (éxito o fracaso) con un éxito de probabilidad p (y todos son "idénticos" con respecto a p). E. g., Voltear un (justo) moneda 100 veces, esto es 100 Bernoulli-experimentos y todos tienen p=0.5 . Pero aquí las preguntas diferentes tipos de p a la derecha?

Answer 1

Estoy de acuerdo con tu respuesta. Por lo general este tipo de datos hoy en día ser modelados con algún tipo de Teoría de Respuesta al Ítem modelo. Por ejemplo, si usted utiliza el modelo Rasch, luego del binario respuesta $X_{ni}$ podría ser modelado como

$$ \Pr \{X_{ni}=1\} =\frac{e^{{\beta_n} - {\delta_i}}}{1 + e^{{\beta_n} - {\delta_i}}} $$

donde $\beta_n$ puede ser pensado como $n$-th la capacidad de las personas y $\delta_i$ $i$- th pregunta de dificultad. Entonces, el modelo que le permite coger el hecho de que diferentes personas varían en habilidades y preguntas varían en dificultad, y este es el más simple de los modelos IRT.

Sus profesores respuesta se supone que todas las preguntas tienen la misma probabilidad de "éxito" y son independientes, ya que binomial es una distribución de una suma de $n$ i.yo.d. Ensayos de Bernoulli. Hace caso omiso de los dos tipos de dependencias descritas anteriormente.

Como notado en los comentarios, si has mirado en la distribución de las respuestas de una persona en particular (por lo que no tienen que ocuparse de entre-persona de la variabilidad), o de las respuestas de diferentes personas en el mismo elemento (por lo que no hay entre el elemento de variabilidad), entonces la distribución sería de Poisson-binomial, es decir, la distribución de la suma de $n$ no-yo.yo.d. Ensayos de Bernoulli. La distribución puede ser aproximada con la binomial o de Poisson, pero eso es todo. De lo contrario usted está haciendo el yo.yo.d. de la asunción.

Incluso en "null" suposición acerca de la adivinación, esto supone que no hay necesidad de adivinar los patrones, para que la gente no difieren en la forma de adivinar y elementos no difieren en la forma en que se adivinado--así que la adivinación es puramente aleatoria.

Answer 2

La respuesta a este problema depende de la formulación de la pregunta y cuando la información es adquirida. En general, tiendo a estar de acuerdo con el profesor, pero creo que la explicación de su respuesta es pobre y la del profesor, la pregunta debería incluir más información en la delantera.

Si usted se considera un número infinito de posibles preguntas del examen, y dibujar uno al azar para la pregunta 1, dibuje uno al azar para la pregunta 2, etc. A continuación, entrar en el examen:

1. Cada pregunta tiene dos resultados (bien o mal)
2. Hay un número fijo de ensayos (preguntas)
3. Cada juicio pudiera ser considerado como independiente (ir a la pregunta dos, su probabilidad de $p$ de hacer lo correcto, es el mismo que cuando se va en la pregunta uno)

En este marco, la hipótesis de un experimento binomial se cumplen.

Por desgracia, la mala estadístico propuesto problemas son muy comunes en la práctica, no sólo en los exámenes. Yo no dudaría en defender su justificación a su profesor.

Answer 3

Si hay n preguntas, y me puede contestar cualquiera de las preguntas correctamente con probabilidad p, y hay tiempo suficiente para intentar responder a todas las preguntas, y me hizo 100 de estas pruebas, mi puntuación sería normal distribuido con una media de np.

Pero no me la repetición de la prueba de 100 veces, lo que es de 100 diferentes candidatos a hacer una prueba, cada uno con su propia probabilidad p. La distribución de estas p será el factor primordial. Usted podría tener una prueba en la que p = 0,9 si has estudiado bien el tema, p = 0.1 si no, con muy pocas personas entre 0.1 y 0.9. La distribución de puntos se tiene un muy fuerte maxima en 0,1 n y 0,9 n y va a estar en ninguna parte cerca de distribución normal.

Por otro lado, hay pruebas de que todo el mundo puede responder a cualquier pregunta, pero tomar diferentes cantidades de tiempo, por lo que algunos de responder a todas n de preguntas, y otras de respuesta de menos porque se agote el tiempo. Si podemos suponer que la velocidad de los candidatos es normal distribuidos, entonces, los puntos serán cerca de lo normal distribuido.

Pero muchas de las pruebas se contienen algunas muy duro y muy fácil de preguntas, intencionalmente, de manera que podemos distinguir entre los mejores candidatos (que responderá a todas las preguntas, hasta un cierto grado de dificultad) y en el peor de los candidatos (que sólo será capaz de responder a preguntas muy sencillas). Esto podría cambiar la distribución de los puntos de bastante fuerza.

Answer 4

Por definición, una distribución binomial es un conjunto de $n$ independientes e idénticamente distribuidas ensayos de Bernoulli. En el caso de un examen de opción múltiple, cada una de las $n$ preguntas sería uno de los ensayos de Bernoulli.

El problema aquí surge debido a que no podemos razonablemente suponer que el $n$ preguntas:

• Son idénticamente distribuidas. Como usted dijo, la probabilidad de que un estudiante sabe la respuesta a la pregunta $1$ es casi seguro que no va a ser la misma que la probabilidad de que sabe la respuesta de la pregunta $2$, y así sucesivamente.
• Son independientes. Muchos de los exámenes de preguntas que se basan en las respuestas a la pregunta anterior(s). Quién dice que para asegurarse de que eso no pasaría en el examen de esta cuestión? Hay otros factores que podrían hacer que las respuestas a las preguntas del examen no independientes el uno del otro, pero creo que este es el más intuitivamente obvio.

He visto preguntas en las Estadísticas de las clases que el modelo de las preguntas del examen como binomios, pero están enmarcados algo a lo largo de las líneas de:

¿Qué distribución de probabilidad de modelar el número de preguntas contestadas correctamente en un examen de opción múltiple, donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y el estudiante toma el examen está adivinando en cada respuesta al azar?

En este escenario, por supuesto, no sería representado como una distribución binomial con $p= \frac{1}{4}$ .