Conservación de la Carga y el Método de las Imágenes

Question

Considere el problema típico, "Usted tiene una esfera conductora de carga en $Q$ y un punto de carga q a una cierta distancia, ¿cuál es la fuerza sobre el punto de carga?". La solución es una simple aplicación del método de las imágenes, pero en Griffiths parte del argumento se basa en decir $$Q_{conductor} = \sum_i q_{image}$$ O sea, que la imagen de los cargos en el conductor añadir a la carga total. Yo no veo cómo esto es un matemáticamente declaración válida. Estaba pensando que puede venir de las condiciones de contorno de Neumann y la integración de Poisson eq, pero no estoy seguro.

Para referencia de considerar Griffiths Problema 3.8, que trata con el $Q=0$ de los casos.

Una explicación sería realmente útil.

Answer 1

La fórmula para $Q_{conductor}$ que la referencia viene desde el punto medio de un argumento de la superposición:

1) Empezar por asumir la esfera conductora a tierra. (es decir, olvidarse de la carga en $Q$ por ahora.)

a) Utilice el método estándar de imágenes para reemplazar la tierra de la esfera con un equivalente de la imagen de carga de la $q_{image} = -q (a/r)$ en la posición $a^2/r$, donde a es el radio de la esfera conductora y $r$ es la distancia de la carga en $q$ desde el centro de la esfera. Ahora puede encontrar el campo.

b) Volver a la tierra de la esfera. El (ahora conocido) campo requiere una carga en la superficie de la esfera para que termine. Por la ley de Gauss, la carga total en la superficie, $Q_{conductor}=q_{image}$. Esa es su fórmula (que es generalizado para el caso de imágenes múltiples cargos).

c) ahora Se puede romper la conexión de puesta a tierra de la esfera. No cambia nada; la esfera de la superficie sigue siendo un equipotenciales a nivel del suelo.

2) Con la esfera ya no conectado a tierra, ahora se puede agregar la carga de la $Q-q_{image}$ a la esfera de lograr la original especificación del problema. Desde que las fuerzas electrostáticas estaban equilibrados en la parte 1), la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la esfera, y por lo tanto actúa como un punto de carga en el centro de la esfera.

Ahora usted puede agregar los dos campos de las partes 1) y 2) encontrar la fuerza sobre la carga de la $q$.

Answer 2

Usted puede probar que el requerido espejo de la carga es el opuesto de la carga externa – y si usted tiene muchas cargas externas, la solución está dada por el principio de superposición, de modo que la suma total de "real" cargas externas es igual a la suma de el espejo de cargos – mediante el cálculo de una integral en "la integración de más de todos los ángulos" en Wikipedia.

En vez de reproducir la prueba de allí, permítanme ofrecer una más conceptual de la prueba. La electrodinámica es "invariantes conformes". Lo que realmente se reduce al hecho de que la acción $-(1/4)\int d^4 x\, F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ es la escala-invariante y la invariancia de escala junto con el de Poincaré invariancia normalmente implica la plena conformación de simetría.

Ahora, el espejo de carga es claramente $-q_{\rm external}$ si la realización de la superficie es plana, por un $Z_2$ simetría (que es la única manera de garantizar que $\vec E$ será ortogonal al plano, el límite del conductor, que es requerido por la constancia de que el potencial en el conductor). Uno puede generalizar esta afirmación a una arbitraria de la esfera, haciendo un esférica de la inversión. Considere la posibilidad de un conductor cuya superficie es un plano que no cruce el origen $\vec x=0$. Ahora, realizar un esférico de inversión $$ (r,\theta,\phi)\to (1/r,\theta,\phi) $$ en coordenadas esféricas. Esta transformación – que va a cambiar el avión fuera el origen (y va hasta el infinito) a un (compacto, no tocar el infinito) esfera de tocar el origen puede ser fácilmente demostrado ser un ángulo de-la conservación, la conformación de la transformación (básicamente porque es cierto que en 2D, porque $z\to 1/z$ es un holomorphic función de una variable compleja, excepto para el polo en $z=0$) por lo que si todos los campos se transforman correctamente y si se resuelven las ecuaciones antes, se va a resolver epílogos, demasiado.

Pero la integral de la $\nabla\cdot \vec E$ que es proporcional a la carga en una región dada es invariante bajo la conformación de las transformaciones ya que el integrando es la 2ª derivada de los potenciales cuya "misa de la dimensión uno (al igual que un derivado, también). El integrando es, por tanto, "la masa cortada en cubos" que cancela en contra de las tres dimensiones de la integración de la medida. Así que si usted aplica la forma esférica de la inversión en los planos problema, se obtiene una esfera con una carga externa y un espejo de carga y las cargas de la $+q,-q$ va a ser exactamente igual que antes (igual que para los planos problema).

Uno necesitaría un poco de matemáticas más allá de la "masa dimensiones" para demostrar que la acusación es realmente invariantes conformes, pero es cierto.

Así, mientras que la derivación necesidades, ya sea a algunos abstractos grupo de teoría esférica de la inversión, de conformación de simetría, etc. – o aburrido integrales, la respuesta es Sí, los cargos son los mismos. Por el principio de superposición, usted puede tomar las cargas externas a cualquier distribución. Estas fuentes pueden ser vistos como la superposición de puntos de cargos, y los campos resultantes $\vec E$ será superposiciones con los mismos coeficientes, emocionado por la misma combinación de el espejo de los cargos. De modo que la igualdad entre el exterior y el espejo "carga total" seguirá siendo válido incluso si usted toma cualquier configuración de forma esférica o plana conductores (planar conductores son sólo el $R\to\infty$ límites de la esférica) y cualquier configuración de cargos.