Preguntas--Ecuación del calor con $x>0,t>0$

Question

Tengo el siguiente problema:

$$u_t=u_{xx}, x>0, t>0$$ $$u(x=0,t)=0 , t>0$$ $$u(x,t=0)=f(x), x>0$$

La solución del problema es: $$u(x,t)=\int_0^{+\infty} a(k) \sin(kx) e^{-k^2t} dk$$

$$u(x,0)=f(x)=\int_0^{+\infty} a(k) \sin(kx) dk$$

$$\sin(k'x) f(x)= \sin(k'x) \int_0^{+\infty} a(k) \sin(kx) dk \Rightarrow \int_{0}^{\infty}\sin(k'x) f(x) dx = \int_0^{+\infty} a(k) \sin(kx) \sin(k'x) dk dx$$

Conocemos la integral:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(k-k')x}dx= 2 \pi \delta(k-k')$$

$$e^{-ikx} e^{ik'x}=\cos(kx) \cos(k'x)+\sin(kx) \sin(k'x)+ i(\cos(kx) \sin(k'x)-sin(kx) \cos(k'x)) $$

¿Por qué sabemos que $e^{-ikx} e^{ik'x}=$ es real, así que $\cos(kx) \sin(k'x)-sin(kx) \cos(k'x)=0$ ?

Además, ¿por qué $\int_{-\infty}^{+\infty} (\cos(kx) \cos(k'x)+\sin(kx) \sin(k'x))dx=2 \int_{\infty}^{+\infty} \sin(kx) \sin(k'x) dx$ ?

Answer 1

La forma más sencilla de resolver el problema de valor límite inicial $$ \begin{cases} u_t-u_{xx}=0,\;\;x>0,\;\,t>0,\\ u|_{x=0}=0,\quad t\geqslant 0,\\ u|_{t=0}=f(x),\quad x\geqslant 0, \end{cases}\tag{1} $$ es tomar una extensión impar de los datos iniciales $f$ desde el semieje $\mathbb{R}_{+}$ a todo el $\mathbb{R}$ , es decir , $$ \widetilde{f}(x)= \begin{cases} f(x),\quad x\geqslant 0,\\ -f(-x),\;\, x<0, \end{cases}\tag{2} $$ y resolver el problema de valor inicial $$ \begin{cases} u_t-u_{xx}=0,\;\,t>0,\\ u|_{t=0}=\widetilde{f}(x),\quad x\geqslant 0, \end{cases} $$ utilizando la conocida fórmula de Poisson $$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\widetilde{f}(y) e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}dy $$ por lo que, debido a $(2)$ , sigue la representación requerida de la solución $$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\biggl(\int\limits_{0}^{\infty}+\int\limits_{-\infty}^{0}\biggr)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int\limits_{0}^{\infty}f(y)\Bigl(e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}-e^{-\frac{(x+y)^2}{4t}}\Bigr)dy\tag{3} $$ el problema de valor límite inicial $(1)$ . Esto es lo que generalmente se llama el método de las imágenes en espejo . Un enfoque alternativo para construir la representación integral de las soluciones $(3)$ es aplicar al problema $(1)$ la llamada transformada senoidal de Fourier - que es lo que se pretende conseguir descuidando la lógica formal.

Answer 2

Si entiendo bien su pregunta, está pidiendo dos cosas. La primera de ellas es "por qué es $e^{-i(k-k^\prime)x}$ real?". La respuesta a esto es, no es . Creo que tu confusión se debe a que el resultado de la integral es una función real (la Direc- $\delta$ ), pero la integral de una función compleja no es necesariamente compleja.

Considere la transformación de Fourier del $\delta$ función:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-i k x} \,\delta(x) \, dx = e^{-i\, k\, 0} = 1$$

de la definición del $\delta$ -función. Por tanto, la transformada de Fourier (inversa) de una función constante nos devuelve la $\delta$ . El factor de $2\pi$ proviene de la definición de la transformada de Fourier utilizada aquí, sin embargo, hay diferentes definiciones .

La segunda parte preguntaba por qué

$$\int_{-\infty}^\infty \cos(kx)\cos(k^\prime x)+\sin(kx)\sin(k^\prime x)\, dx = 2\int_{-\infty}^\infty\sin(kx)\sin(k^\prime x)\,dx$$

Esto es bastante fácil de ver si consideramos que

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a+c}^{b+c} f(x-c)\, dx,$$

Es decir, si desplazamos una función por $c$ pero también desplazar los límites de integración para compensar esto, obtenemos la misma respuesta. Así que en nuestro caso podemos desplazar $\cos(x)$ por $-\pi/2$ pero como los límites son $\pm\infty$ no cambian y usamos eso $\cos(x-\pi/2)=\sin(x)$ dándonos la respuesta.

Aunque esta integralidad no converge y lo obtuvimos por la suposición errónea de que $e^{-i (k-k^\prime) x}$ era real.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Por supuesto, utilice la separación de variables:

Dejemos que $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

Entonces $X(x)T'(t)=X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-k^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-k^2\\X''(x)+k^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(k)e^{-tk^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(k)\sin xk+c_2(k)\cos xk&\text{when}~k\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~k=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty a(k)e^{-tk^2}\sin xk~dk+\int_0^\infty b(k)e^{-tk^2}\cos xk~dk$

$u(0,t)=0$ :

$\int_0^\infty b(k)e^{-tk^2}~dk=0$

$b(k)=0$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty a(k)e^{-tk^2}\sin xk~dk$

$u(x,0)=f(x)$ :

$\int_0^\infty a(k)\sin xk~dk=f(x)$

$\mathcal{F}_{s,k\to x}\{a(k)\}=f(x)$

$a(k)=\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to k}\{f(x)\}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to k}\{f(x)\}e^{-tk^2}\sin xk~dk$