¿Es $\mathbb{L}$ literalmente el modelo más pequeño de $\sf ZF(C)$? (En $\sf NBG$)

Question

Estaba leyendo en algún lugar que $\mathbb{L}$ era "el modelo transitivo más pequeño de $\sf ZFC$ que contiene a todos los ordinales" (universo constructible de Gödel)

Me preguntaba si: 1. ¿Esto era cierto y 2. ¿Esto podría ser precisado en $\sf NBG$ (teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel)

Así que mi primera pregunta es: ¿es cierto?

Luego, sobre el punto 2., estaba pensando esto: en $\sf NBG$ se puede hablar de clases propias, y si un modelo transitivo de $\sf ZFC$ contiene a todos los ordinales, tiene que ser una clase propia. Así que para poder decir que $\mathbb{L}$ es el más pequeño de este tipo, una forma sería usar el hecho de que $\sf NBG$ puede hablar de clases propias y comparar su "tamaño" (en términos de inclusión).

En NBG se pueden definir un conjunto de variables, símbolos, etc., para, al final, obtener un conjunto que podemos denotar $\mathcal{ZFC}$ que es un conjunto de oraciones de primer orden que representan a $\sf ZFC$. Luego, probablemente se puede definir la noción $C \models \phi$ para $C$ una clase y $\phi$ una oración de primer orden (escrita "dentro" de $\sf NBG$) que solo usa símbolos lógicos, $\simeq$ y $\epsilon$ (denotando $=$ e $\in$). No he detenido detalles aquí, pero asumo que se puede hacer de la misma manera que $\models$ es usualmente definido en teoría de modelos.

Una vez hecho eso se puede definir $C \models \mathcal{ZFC}$ para $C$ una clase, y también se pueden definir "$C$ es transitivo" y "$C$ contiene a todos los ordinales".

Entonces en $\sf NBG$ mi pregunta puede ser reescrita como: ¿es cierto que $\forall C, C \models \mathcal{ZFC} \land C$ es transitivo $\land \, C$ contiene a todos los ordinales $\implies \mathbb{L} \subset C$ ? (Abrevio las condiciones en $C$ como $Mod(C)$)

De lo contrario se puede definir $\mathbb{S} = \{x\mid \forall C, Mod(C) \implies x \in C\}$, y entonces no me sorprendería si tuviéramos $Mod(\mathbb{S})$ (no he revisado los detalles pero parece razonable), y por lo tanto $\mathbb{S}$ sería el modelo transitivo más pequeño de $\sf ZFC$ que contiene a todos los ordinales.

Así que mi segunda pregunta es: ¿funcionaría esta última construcción, y de ser así, se tendría $\mathbb{L} = \mathbb{S}$ ? ¿Se ha hecho esto antes como una forma alternativa de definir $\mathbb{L}$ ? Si la respuesta a esto es sí, ¿reemplazar $\sf ZFC$ por $\sf ZF$ funcionaría y si es así, ¿se podría probar directamente (sin dar explícitamente una construcción de $\mathbb{L}$) que $\mathbb{L} \models AC$ ?

Answer 1

El problema está con $L\models\sf ZFC$. Porque si eso fuera demostrable desde $\sf NBG$, entonces $\sf NBG$ demostraría la consistencia de $\sf ZFC$. Dado que $\mathsf{NBG}$ es una extensión conservativa, la afirmación no es demostrable. Y ciertamente, los predicados de verdad para clases propias requerirían comprensión de clases impredicativas.

Pero lo que es verdad de hecho, es que $\sf ZF$ ya demuestra que si $\varphi$ define una clase transitiva que:

1. Contiene todos los ordinales,
2. Está cerrada bajo operaciones de Gödel,
3. Casi universal,

Entonces todo conjunto que cumple la propiedad de ser miembro de $L$ cumple $\varphi$. Es decir, cualquier modelo de $\sf ZF$ incluirá $L$. Nota que las tres propiedades solo implican que para cada axioma de $\sf ZF$, su relativización a $\varphi$ es demostrable, pero estas demostraciones no son uniformes.