Los autovalores de un bloque especial de la matriz asociada fuertemente conectado con el gráfico

Question

Definición

Deje $G=(V,E,A)$ ser fuertemente conectados en forma de grafo dirigido, donde $V=\{1,2,...,n\}$ denota el conjunto de vértices, $E$ es el conjunto de borde, y $A$ es el asociado adyacentes de la matriz con $0-1$ ponderación, que es $a_{i,j}=1$ si $(j,i)\in E$, e $a_{i,j}=0$ lo contrario.

$B$ $D$ son dos diagonales de las matrices, donde$b_{ii}=\sum_{j=1}^na_{i,j}$$d_{ii}=\sum_{j=1}^na_{j,i}$. En otras palabras, las entradas de la diagonal de a $B$ son de la fila suma de $A$, y las entradas de la diagonal de a $D$ son la columna suma de $A$.

Problema

Ahora definir una nueva matriz $M=\left[\begin{array}{c|c} B-A & -A \\ \hline A-B & D \end{array}\right]$. Since the column sum of $M$ son idénticos ceros, cero debe ser uno de sus autovalor. Puedo reclamar que el resto autovalores todos tienen real positivo partes?

He probado muchos ejemplos numéricos, el resto autovalores positivos de piezas reales. Alguien puede ayudar a demostrar o refutar? (Gershgorin Círculo Teorema no se aplica aquí porque $M$ no es diagonalmente dominar)

Answer 1

Creo que podemos simplificar un poco.

Yo entiendo que usted quiera saber si la matriz no negativa eigen valores (es decir, >=0). Otra forma de verlo es, usted quiere saber si la matriz es positiva semi-definida o no. Para un bloque de la matriz, esto ocurre si y sólo si, la de la esquina superior izquierda de la matriz (en el caso de B-A) y su complemento de schur es positivo semi definida.

es decir B-a es positivo y semidefinite schur(B-A)=D-(inv(a-B)(B-A)(-A)) es positivo semidefinite.

simplificando, schur(B-A)=D-A.

es decir (B-A) y (D-A) debe ser positiva semi definida.