¿Qué significa exactamente la terminología "cerrado sobre" / "cerrado bajo" y de dónde vino?

Question

He estado tratando de enseñar a mi compañera alguna teoría de conjuntos, y me tiraron por un lazo mientras trataba de darle una definición precisa de alguna terminología básica. Así que hemos oído hablar de un conjunto que se describe como "cerrado bajo" una operación, así como una operación que se "cierra sobre" un conjunto.

Primero, corrígeme si me equivoco, pero mi impresión es que estas cosas significan lo mismo.

En segundo lugar, ¿tiene esta terminología una definición precisa? Por ejemplo, normalmente diríamos que el conjunto $A$ está cerrado bajo $f:X \rightarrow Y$ si $A \subseteq X$ y para cualquier $x \in A$ , $f(x) \in A$ . Pero también es común ampliar la definición de tal manera que $X$ no es un superconjunto de $A$ sino de $A^n$ para algunos $n$ . Por ejemplo, diríamos $A$ se cierra bajo adición si el operador de adición mapea elementos de $A^2$ a $A$ . ¿Se extiende esto a algo más grande que $n$ -¿duplicados? ¿Secuencias infinitas, por ejemplo?

Tercero, ¿cuál es la motivación de esta terminología y está relacionada de alguna manera con la definición topológica normal de clausura? Hay una forma en que los conjuntos cerrados están relacionados con los conjuntos que se cierran bajo una operación particular en ciertos espacios topológicos (si se permite el uso que incluye secuencias infinitas como arriba), pero no he llegado a una relación general entre los dos conceptos. Sin embargo, ¿cuál es la motivación para decir que una operación está cerrada sobre un conjunto, o es sólo una corrupción de la primera? ¿Alguien conoce el razonamiento histórico que hay detrás de esta terminología?

Answer 1

En un contexto matemático ordinario nunca diría que una operación $ \mathcal O$ se cierra sobre un conjunto $A$ Considero que es un error para $A$ está cerrado bajo $ \mathcal O$ ’. Esta última terminología puede aplicarse de manera muy general. Para empezar, si $A \subseteq S$ , $n \in \omega $ y $f:S^n \to S$ , ‘ $A$ está cerrado bajo $f$ significa precisamente que para cada $ \langle a_1, \dots ,a_n \rangle \in A^n$ , $f(a_1, \dots ,a_n) \in A$ .

Este es el uso algebraico más común, creo, pero es sólo el comienzo. Por ejemplo, los números enteros no negativos $n$ puede ser reemplazado por cualquier ordinal $ \alpha $ y no es necesario definir la operación en todos los miembros de $S^ \alpha $ . Supongamos que $X$ es un espacio topológico y $A \subseteq X$ . ‘ $A$ se cierra bajo (la operación de tomar) los límites de las secuencias convergentes" significa entonces que si $ \langle a_n:n \in \omega \rangle $ es una secuencia de puntos en $A$ que converge como una secuencia en el espacio $X$ su punto límite está en realidad en $A$ . Aquí $ \alpha = \omega $ y la operación se define sólo para aquellos elementos de $X^ \omega $ que convergen en $X$ . Este ejemplo empieza a mostrar al menos la relación entre la noción general y la de cierre topológico.

Además, la terminología se sigue utilizando cuando no se ordena la entrada a la operación: es perfectamente correcto decir que una familia $ \mathcal A$ de conjuntos está cerrado bajo (tomando) intersecciones finitas, por ejemplo, lo que significa que si $ \mathcal F$ es cualquier subfamilia finita de $ \mathcal A$ , $ \bigcap \mathcal F \in \mathcal A$ . Si $S$ es el conjunto subyacente, la operación es $ \mathcal O:[( \mathcal P(S)]^{< \omega } \to \mathcal P(S): \mathcal F \mapsto \bigcap \mathcal F$ y $ \mathcal A \subseteq \mathcal P(S)$ está cerrada bajo ella porque $ \mathcal O$ mapas $[ \mathcal A]^{< \omega }$ en $ \mathcal A$ . (Aquí $[X]^{< \omega }$ denota el conjunto de subconjuntos finitos de $X$ .)

Sería un poco difícil formular una definición formal exhaustiva del uso, y no estoy en absoluto seguro de que sea particularmente útil; parece más útil presentar una variedad de ejemplos que muestren la flexibilidad del uso.

Answer 2

Primero, cerrado por debajo y por encima significa lo mismo.

En segundo lugar, su definición es correcta, excepto que normalmente se hace con una operación. Una operación $*$ es una función de $G \times G \to H.$ Una operación se cierra sobre un conjunto $G$ si un solo si, por cada $x,y \in G$ $f(x,y)=x*y \in G.$