sintético de la geometría diferencial y otras teorías alternativas

Question

Hay modelos de la geometría diferencial en el que el valor medio teorema no es cierto, pero cada función es suave. De hecho tengo un libro sentado en mi escritorio llamado "Modelos para el buen Análisis Infinitesimal" por Ieke de Moerdijk y Gonzalo E. Reyes en la que la construcción de estos modelos se lleva a cabo. Soy bastante nuevo en todo este tema y yo sólo tropezó con ella porque yo estaba tratando de encontrar algo como no-estándar de análisis de la geometría diferencial.

Ya me gusto la más natural de las formulaciones para los diferenciales y los vectores tangente en el nuevo entorno, aunque puedo ver que la verdadera maestría de todos los entresijos requerirá más de fondo en la categoría de teoría como Grothendieck topologías. Así que mis preguntas son un poco filosófico. Supongamos que algunos de los grandes conjetura es refutado en uno de estos modelos, pero demostrado ser cierto en la configuración clásica, a continuación, ¿qué sería exactamente que significa para el clásico de la geometría diferencial? Es un estado de cosas posible o me estoy perdiendo algo que descarta esa posibilidad como una metatheorem que dice algo que puede ser comprobado en los nuevos modelos pueden ser probados en el habitual modelo clásico? Más específicamente, ¿cuál es la relación exacta entre los nuevos modelos y el clásico? Se podría incluso hacer que no trivial comparaciones? Referencias para tales debates son bienvenidos. Estoy haciendo la pregunta aquí porque tengo la sospecha de que podría haber algunos expertos familiarizados con el sintético de la geometría diferencial que será capaz de iluminar la conexión a la teoría clásica.

Edit: Encontré una muy animado e interesante discusión por Juan Báez, Andrew Stacy, Urs Schreiber, Tom Leinster y muchos otros en la n-categoría cafe llamado Comparativo Smootheology aunque no podía hacer que fuera la exacta relación con la SDG.

Answer 1

Tal vez yo pueda hacer las implicaciones de lo que dijo Harry un poco más explícito. Un modelo adaptado de SDG incrusta suaviza colectores plena y fielmente. Esta en particualar significa que la SDG modelo y el buen colectores de "creer" en el mismo suaviza mapas entre suave colectores (pero SDG modelo contiene generalizada de los espacios que no corresponden a ninguna colector), y por otra parte, precisamente de la misma ecuaciones mantenga en el SDG modelo y en suave colectores. En este sentido SDG es conservador: el modelo nunca va a ser un inválido ecuación con suave mapas entre suave colectores.

La situación es realmente muy similar a otras situaciones en las que tenemos que distinguir entre la verdad y el significado dentro de un modelo y la verdad y el significado fuera del modelo. Por ejemplo, hay modelos de la teoría de conjuntos que viola el axioma de elección, pero estos modelos son construidos en un entorno en donde el axioma de elección se mantiene. Esto no es ningún misterio o de la magia, mientras recordemos que una declaración puede tener un significado diferente en el modelo que en el exterior. Lo mismo se aplica a SDG: cuando el significado interno de las declaraciones en el modelo es apropiadamente interpretado en el exterior, nada puede salir mal (que es lo que un modelo es, después de todo).

Answer 2

Desde la n-laboratorio:

"Un topos T modelización de los axiomas de sintético de la geometría diferencial se llama (bien) adaptado si el ordinario de la geometría diferencial de colectores incrusta en ella, en particular si hay una plena y fiel functor Diff →T, de la categoría de ordinario suave colectores en T."

El punto principal aquí es que podemos desarrollar la teoría abstracta, a continuación, aplicar la teoría a la categoría de diferenciables colectores, lo que equivale a través de este functor a una subcategoría de este bonito lugar donde estamos trabajando. En particular, todo el resumen de los resultados de restringir a los resultados clásicos.