Ayuda a entender esta propiedad: $\int\limits_{ka}^{kb}s\left(\frac{x}{k}\right)dx = k\int\limits_a^bs(x)dx$

Question

Estoy leyendo la parte que explica las propiedades de la integral de una función de paso en el Apostol de Cálculo del yo y él explica esta propiedad:

$$\int\limits_{ka}^{kb}s\left(\frac{x}{k}\right)dx = k\int\limits_a^bs(x)dx$$

diciendo que si nos distorsionan la dirección horizontal (es decir, la longitud) por $k > 0$, es lo mismo que multiplicar la integral por $k$. Intuitivamente tiene sentido: si el área de un rectángulo es $\text{Length} \cdot \text{Height}$, luego

$$(k\cdot \text{Length}) \cdot \text{Height} = k\cdot(\text{Length} \cdot \text{Height})$$

Pero tengo algunos problemas en la comprensión de la forma de esta propiedad toma con "más complicado" que se extiende del intervalo de integración. He estado jugando con el símbolo $\int\limits_a^bs(x)dx$ desde entonces, pero no estoy seguro de si lo que hice es correcto. Por ejemplo:

Sería:

$$ \begin{align*} &1. \qquad \int\limits_{ka}^{kb}s(x)dx = k\int\limits_a^bs\left(\frac{x}{k}\right)dx\qquad \text{?}\\ &2. \qquad \int\limits_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}}s(x)dx = \left[\int\limits_a^bs(x^2)dx\right]^{1/2}\qquad \text{?}\\ &3. \qquad \int\limits_{a^2}^{b^2}s(x)dx = \left[\int\limits_a^bs(\sqrt{x})dx\right]^{2}\qquad \text{?}\\ &4. \qquad \int\limits_{a/k}^{b/k}s(x)dx = \frac{1}{k}\int\limits_a^bs(kx)dx\qquad \text{?} \end{align*} $$

En cada caso lo que hice fue lo siguiente:

Vamos a tomar $2.$ como un ejemplo. Si $\sqrt{a} < x < \sqrt{b} \implies a < x^2 < b \implies x^2$ está en el dominio de $s$. A continuación, el integrando es $s(x^2)$ $[a,b]$ y el estiramiento de los intervalos (la raíz cuadrada) "gotas" para el conjunto de la integral: $\left[\int\limits_a^bs(x^2)dx\right]^{1/2}$.

Si esto es correcto, entonces mecánicamente sé cómo funciona, pero no soy capaz de explicar por qué (en particular, la parte donde el estiramiento de $[a,b]$ gotas para la integral).

Gracias!!

Answer 1

Ninguno de los contados de las ecuaciones ($1. - 4.$) son válidas las sustituciones.

Para evitar confusiones, una variable diferente debe ser utilizado para la sustitución. En el caso de que usted presente, podemos utilizar la sustitución de $x=ku$. Entonces tenemos $$ \begin{align} \int_{ka}^{kb}s\left(\frac xk\right)\,\mathrm{d}x &=\int_{x=ka}^{x=kb}s\left(\frac xk\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{ku=ka}^{ku=kb}s\left(\frac{ku}k\right)\,\mathrm{d}ku\\ &=\int_{u=a}^{u=b}s(u)\,k\,\mathrm{d}u\\ &=k\int_a^bs(u)\,\mathrm{d}u \end{align} $$ Entonces, puesto que la variable de integración es una variable ficticia, se puede reemplazar con cualquier otra variable, decir $x$: $$ \int_{ka}^{kb s}\left(\frac xk\right)\,\mathrm{d}x =k\int_a^b(x)\,\mathrm{d}x $$

Answer 2

Sugerencia: Hacer la sustitución $u = \frac{x}{k}$$du = \frac{1}{k} dx \implies kdu = dx$.