Integral de$x\log(\sin x)$

Question

Esto es de una vieja a la altura del papel. Estoy luchando con la parte (ii). Cualquier sugerencias?

Answer 1

^{$\log_e$ para que denota el logaritmo natural? Oh, mi querido.}

$$ \int_{0}^{\pi/2}x\log\sin x\,dx = \int_{0}^{1}\frac{\arcsin(u)\log u}{\sqrt{1-u^2}}\,du\tag{1}$$ y recordando $$ \arcsin(u) = \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n(2n+1)}u^{2n} \tag{2} $$ $$ \int_{0}^{1}\frac{u^{2n}\log(u)}{\sqrt{1-u^2}}\,du = \frac{\pi\binom{2n}{n}}{4^{n+1}}\left(H_{n-1/2}-H_n\right)\tag{3} $$ (donde $(3)$ sigue diferenciando de Euler función Beta) del lado izquierdo de $(1)$ se convierte en un trenzado de la serie hipergeométrica, según la terminología introducida aquí. Por otro lado, mediante la explotación de la serie de Fourier de $\log\sin$ o de Fourier de Chebyshev de la serie de expansiones, la LHS de $(1)$ resulta ser $$ \int_{0}^{\pi/2}x\log\sin x\,dx = \color{red}{\frac{7}{16}\,\zeta(3)-\frac{\pi^2}{8}\,\log(2)}.\tag{4}$$ Uno puede abordar el equivalente a la integral de la $\int_{0}^{\pi/2}x^2\cot(x)\,dx$ también recordando que $\cot(x)=\frac{1}{x}+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{x-n\pi}+\frac{1}{x+n\pi}\right)$, pero la simetría no es, definitivamente, lo suficiente como para tallar las $\zeta(3)$ plazo del aire.

Answer 2

Desde el punto (i) se puede demostrar fácilmente que

$$\int_{0}^{\pi/2}\log\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\log\cos x\,dx=-\frac{\pi}{2}\log 2$$

Ahora considere para el punto (ii)

$$I=\int_{0}^{\pi/2}x\log\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x\,dx$$

así

$$2I=\int_{0}^{\pi/2}x\log\sin x\,dx+\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\log\cos x\,dx=$$ $$=\int_{0}^{\pi/2}x\log\tan x\,dx+\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2}\log\cos x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}x\log\tan x\,dx-\frac{\pi^2}{4}\log 2$$

pues a partir de la siguiente referencia de Pablo Enta

$$\int_{0}^{\pi/2}x\log\tan x\,dx=\frac{7}{8}\,\zeta(3)$$

finalmente tenemos

$$I=\int_{0}^{\pi/2}x\log\sin x\,dx=\frac{7}{16}\,\zeta(3)-\frac{\pi^2}{8}\log 2$$