Supongo que $a$ $b$ son números reales (esto puede ser garantizado desde $f(a)=1$ $f(b)=5$ tiene soluciones reales.
Como usted dijo que $f^\prime$ siempre es positivo que significa $f$ es estrictamente una función creciente. Desde $f(0)=0$$0<a<b$.
Tenga en cuenta que tenemos
$$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2=-\frac38(b-a)^2(a+b-2).$$
Por lo tanto, Si $a+b\leq 2$ $$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2\ge0\iff f(\frac{a+b}2)\ge 3\iff\frac{a+b}2\ge 1\iff a+b\ge 2 $$
que da $a+b=2$.
Si $a+b>2$, luego de haber $$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2<0\iff f(\frac{a+b}2)< 3\iff\frac{a+b}2< 1\iff a+b< 2 $$ que lleva a la contradicción.
En conclusión, debemos tener $a+b=2$.