valor de $a+b$ de la siguiente función

Question

$f(x)=x^3-3x^2+5x\;$ y $\;f(a)=1,f(b)=5.\;$ $a+b$.

Sé que sólo una raíz real de la ecuación como la derivada de la función es siempre positiva .No tengo la intención de utilizar la fórmula de las raíces de la ecuación cúbica. ¿Cómo debo ir acerca de este problema ????

Answer 1

Supongo que $a$ $b$ son números reales (esto puede ser garantizado desde $f(a)=1$ $f(b)=5$ tiene soluciones reales.

Como usted dijo que $f^\prime$ siempre es positivo que significa $f$ es estrictamente una función creciente. Desde $f(0)=0$$0<a<b$. Tenga en cuenta que tenemos $$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2=-\frac38(b-a)^2(a+b-2).$$ Por lo tanto, Si $a+b\leq 2$ $$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2\ge0\iff f(\frac{a+b}2)\ge 3\iff\frac{a+b}2\ge 1\iff a+b\ge 2 $$ que da $a+b=2$. Si $a+b>2$, luego de haber $$f(\frac{a+b}2)-\frac{f(a)}2-\frac{f(b)}2<0\iff f(\frac{a+b}2)< 3\iff\frac{a+b}2< 1\iff a+b< 2 $$ que lleva a la contradicción.

En conclusión, debemos tener $a+b=2$.

Answer 2

Ya que la función $f(x)=x^{3}-3x^{2}+5x$ es creciente y $f(0)=0, f(1)=3$$f(2)=6$, debemos tener $0 \lt a \lt 1 \lt b \lt 2$. Y además, hemos, $$a^{3}-3a^{2}+5a=1 \space \space \space \space \space ...(1)$$ and $$b^{3}-3b^{2}+5b=5 \space \space \space \space \space ...(2)$$ Adding $(1)$ and $(2)$ and denoting $a+b$ and $ab$ by $t$ and $x$ respectively, we have, $$t^{3} -3t^{2}+5t -3xt+6x-6=0$$ $$\iff (t-2)(t^{2}-t+3-3x)=0.$$ Ahora, tenemos $t^{2} \geq 4x$ y por lo tanto, tenemos $t^{2}-t+3-3x \geq x-t+3$. Pero $x-t+3 = (a-1)(b-1)+2 > -1 +2 =1 >0.$ Esto es debido a que tenemos $-1 \lt -(b-1) \lt (a-1)(b-1)$. Por lo tanto debemos tener $$t=a+b=2.$$