¿Cuál es la mínima estructura necesaria para definir una noción de derivada?

Question

Sé que, por ejemplo, para definir un límite de todo lo que usted necesita es la noción de "cercanía", que se genera por una topología; y definir una integral que necesita una función de la medida y una sigma-álgebra en la que se define. Esto permite generalizar estas ideas para espacios más allá de la simple $\mathbb{R}^n$ de principios de cálculo. Mi pregunta es, ¿qué tipo de estructura ¿necesita definir un derivado? Estoy familiarizado con la idea de un diferencial de anillo, pero estoy buscando algo definido en funciones. Específicamente, dada una base del espacio de $X$ y un objetivo del espacio de $Y$, me gustaría algún operador $D$ que toma ciertas funciones de $f:X\rightarrow Y$ y los rendimientos de una función derivada $Df=f':X\to Y$. Este debe estar de acuerdo con la definición habitual de la derivada en el espacio Euclidiano, por lo que debe ser lineal, obedecer a la regla de la cadena, etc.

¿Qué estructura necesita antes de esto $D$ operador puede existir? Vamos a necesitar mucho de la estructura que estamos obligados a hacer de nuestros espacios Euclidiana? Y si es así, ¿se podría aflojar los requisitos para nuestro "derivado" de conseguir algo más que la generalidad? Cualquier ayuda y aportes se agradece!

Answer 1

Hay un montón de maneras para generalizar la derivada, de las cuales no todas son compatibles. Esta es una característica común de las generalizaciones: por ejemplo, también hay un montón de maneras para generalizar los números, o el infinito, o exponenciación, de las cuales no todas son compatibles. Aquí hay algunas generalizaciones de los derivados se puede escribir:

1. El Fréchet derivado de un mapa de los espacios de Banach. Este se utiliza en la teoría de Banach colectores.

2. Una derivación en un álgebra. Este resúmenes linealidad y la regla de Leibniz y puede ser utilizado para definir la tangente vectores y campos vectoriales en una muy general; en particular, puede ser utilizado para describir lo que significa para una Mentira álgebra para actuar en un álgebra.

3. Mapeo de infinitesimales objetos adecuados en las categorías da muchas nociones de la derivada de un mapa entre los objetos. Por ejemplo, en la categoría de esquemas sobre un campo $k$ "caminar vector tangente" $\text{Spec } k[\varepsilon]/\varepsilon^2$ tiene la propiedad de que la asignación de fuera de él corresponde al tomar la derivada de un mapa de los planes en el sentido de que describe la inducida por el mapa en todos los Zariski tangente espacios.

4. Hay una combinatoria noción de la derivada de una combinatoria de especies que, al tomar exponencial de las funciones de generación, se recupera la derivada de una potencia de la serie. Es una combinatoria significativa de la operación y no requiere el cálculo de describir.

Por cierto, la integración también ha generalizaciones como este. Por ejemplo, hay un completo algebraicas enfoque de integración que involucra la escritura lineal funcional en un álgebra de satisfacer algunas condiciones. Que tiene la propiedad deseable de forma natural, incluyendo "la probabilidad no conmutativa" como un caso especial, donde no hay ninguna medida subyacente en el espacio, pero no hay todavía una noción útil de un (no conmutativa) algebra de variables aleatorias y de la expectativa de los valores de estos. Ver este post en el blog algunos detalles. Esto puede ser usado para explicar algunos aspectos de la mecánica cuántica, y también conduce a la libre probabilidad.

Esto es cierto incluso de los límites. Algunas nociones de convergencia, tales como la noción de casi todas partes de la convergencia de una sucesión de funciones en una medida de espacio, no están definidos por una topología! Ver la convergencia espacio para algunos detalles.

Supongo que el punto que estoy tratando de hacer aquí es que usted puede generalizar las cosas en todo tipo de formas, dependiendo de lo que estamos tratando de hacer. No se sienten agobiados por el primer formalismo que ver para hacer algo.