¿Podemos predecir cuándo un polinomio puede tomar más de un valor cuadrado perfecto?

Question

Consideramos sólo los polinomios con coeficientes enteros. Sabemos cómo determinar el primer valor del cuadrado perfecto, pero no sabemos cómo determinar los siguientes valores del cuadrado perfecto, excepto probando cada valor de la variable x.

Como ejemplo tenemos p(x) = 9 x^2 + 13x + 2. tenemos p(x)=64 para x=2. Podemos ver que no hay otros valores de x < 2 para los que p(x) toma un valor cuadrado perfecto simplemente probando x=1 y x=0. No queremos probar todos los valores.

Dado el valor de la variable x que produjo el valor cuadrado perfecto del polinomio, ¿existe un método o un algoritmo o una prueba que pueda decirnos que no hay otro valor menor que x que produzca otro valor cuadrado perfecto del polinomio?

Como ejemplo donde p(x) puede tomar un valor cuadrado perfecto más de una vez, tenemos p(x) = 9x^2 + 13x + 1. p(x)=121 para x=3 y p(x)=1 para x=0.

Answer 1

Cuando en la plaza de la ecuación:

$$y^2=a^2x^2+bx+c$$

Esto equivale a la representación de un número como la diferencia de cuadrados. Las decisiones de los medios no son infinitas. Para empezar $s=1$ y terminar cuando $x$ es inferior a 2.

Y utiliza la fórmula.

$$y=\frac{a}{s}\left(c-\left(\frac{b+s}{2a}\right)^2\right)+\frac{b+s}{2a}$$

$$x=\frac{1}{s}\left(c-\left(\frac{b+s}{2a}\right)^2\right)$$

Answer 2

Supongo que está buscando valores enteros de $x$ .

Si, como en sus ejemplos, su polinomio $p$ es cuadrática, es bastante fácil determinar las soluciones enteras de $p(x) = y^2$ . Busca la "ecuación de Pell".

Para los polinomios de mayor grado, la cuestión es mucho más difícil. Si la curva $p(x) - y^2$ tiene el género $> 1$ El teorema de Faltings dice que sólo hay un número finito de puntos racionales, pero no sé si hay límites efectivos.

Answer 3

El problema es bastante antiguo y sencillo. Se resuelve siempre de forma estándar. En Su caso se reduce a la necesidad de resolver ecuaciones de la forma.

$$y^2=ax^2+bx+c$$

Puede ver el debate aquí. http://mathoverflow.net/questions/31118/integer-polynomials-taking-square-values

Aunque buscan persistentemente la secuencia, pero para el caso cuando:

$$y^2=ax^2+bx+q^2$$

La solución puede escribirse de forma muy sencilla. Para ello, utilice la siguiente ecuación Pell.

$$p^2-as^2=1$$

Utilizando las soluciones de la ecuación de Pell la solución se puede escribir como :

$$x=(2qp+bs)s$$

$$y=qp^2+bps+aqs^2$$

Para encontrar todas las soluciones de esta ecuación Pell suele utilizar la exponenciación de la suma con la raíz del coeficiente. Es difícil y no tiene sentido. Es mejor hacer la secuencia conociendo la primera solución de la ecuación de Pell $(p_0 ; s_0 )$ . Entonces, utilizando cualquier solución $(p_1 ; s_1 )$ se puede encontrar lo siguiente. Para ello, utilice la fórmula.

$$p_2=p_0p_1+ay_0y_1$$

$$y_2=y_0p_1+p_0y_1$$

Para encontrar fácilmente la primera solución de la ecuación de Pell. Este es un procedimiento estándar. Hay que descomponer el factor de la raíz en la fracción continua. La dificultad será cuando $c$ no es un cuadrado.

Hay varias fórmulas que puedes utilizar. http://www.artofproblemsolving.com/blog/103509

http://www.artofproblemsolving.com/blog/101140

El problema sigue reduciéndose a cualquiera de la ecuación Pell. Para ello es necesario hacer la sustitución de la $x\longrightarrow(x+r)$ o tal $y\longrightarrow(y+r)$ . Norma adicional para buscar soluciones a la ecuación de Pell.

Answer 4

Para explorar la ecuación $$y^2=9x^2+13x+2$$ primero multiplique por $36=4\times 9$ para obtener $$(6y)^2=4\cdot(9x)^2+4\cdot 13\cdot9x+72=(18x+13)^2-97$$ para que $$(18x+13)^2-(6y)^2=(18x+6y+13)(18x-6y+13)=97$$

Para las soluciones enteras tienes que $97$ es primo, por lo que los factores son $1$ y $97$ o $-1$ y $-97$ . De cualquier manera la diferencia entre los factores es $12y=\pm96$ para que $y=\pm8$ y $x$ debe ser una solución de $9x^2+13x+2=64$ . A partir de ahí tienes:

$$(9x+31)(x-2)=9x^2+13x-62$$

Para $y^2=a^2x^2+bx+c$ multiplicar por $4a^2$ y completar el cuadrado para obtener $$(2ay)^2=(2a^2x+b)^2+4a^2c-b^2$$ y proceder de forma similar. Al final hay que probar todas las factorizaciones.