La razón intuitiva de por qué $\left(\displaystyle\sum_{i=0}^n i\right)^2 = \displaystyle\sum_{i=0}^n i^3$

Question

¿Hay alguna razón intuitiva o significado más profundo de por qué la siguiente igualdad se mantiene?

$$\left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 = \sum_{i=0}^n i^3$$

Yo no estoy buscando una prueba de ello, estoy buscando alguna explicación para esto de la igualdad, si no es sólo una coincidencia.

Answer 1

Echa un vistazo a esta imagen (una buena prueba visual):

Es que convincente?

Answer 2

Por la facilidad de identidad $4n=(n+1)^2-(n-1)^2=4n$, podemos deducir

$$n^3=\frac{n^2(n+1)^2-n^2(n-1)^2}4=S_n-S_{n-1}.$$

Por telescópica, la suma de cubos consecutivos es siempre una diferencia de cuadrados.

En particular, la suma de los primeros cubos es siempre un cuadrado perfecto.

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A continuación, debe ser intuitiva que la suma de los $p^{th}$ poderes de los enteros son polinomios de grado $p+1$, y la comparación con las integrales, el líder término debe ser

$$\sum_{i=1}^n i^p\sim\frac{n^{p+1}}{p+1}.$$

Así que, buscando un caso que $$\left(\frac{n^{p+1}}{p+1}\right)^2=\frac{n^{q+1}}{q+1}$$

nos encontramos con que la única solución

$$\left(\frac{n^2}2\right)^2=\frac{n^4}4$$ dando idénticos comportamientos asintóticos.

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La combinación de los dos anteriores propiedades, las dos secuencias deben coincidir exactamente.