Es una línea recta cerrado en $\mathbb{R}^2$ sin puntos del interior?

Question

Es una línea recta cerrado en $\mathbb{R}^2$ sin puntos del interior?

A mí me parece que todos los puntos de una línea recta son el límite de puntos. Ninguno de ellos puede formar un barrio de r > 0, que es completamente en línea recta. De modo que una línea recta está cerrado y no hay puntos del interior en $\mathbb{R}^2$. Es eso cierto?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto. Considerar la línea de $L=\{(x,0):x\in\Bbb R\}$, es decir, el $x$-eje. Si se deja en $P=(x,0)$, y el balón $B(P,\epsilon)$ cualquier $\epsilon>0$ contendrá los puntos de con $y>0$$y<0$. Así, no $\epsilon$ pelota está contenida en la línea.

Answer 2

Vamos a denotar $L$ una línea en $\mathbb R^2$. Tenemos que $$\forall x\in L,\forall \varepsilon>0,\quad B_x(\varepsilon)\cap L\neq\emptyset\quad\text{and}\quad B_x(\varepsilon)\cap L^c\neq\emptyset$$

donde $B_x(\varepsilon)=\{y\in\mathbb R^2\mid \|x-y\|<\varepsilon\}$. Por lo tanto $$L=\partial L,$$ and thus $$ L es cerrado y no hay punto interior.

De hecho, se puede demostrar que si $(V,\|\cdot \|)$ es un espacio vectorial tal que $\dim V=n$, entonces todo subespacio $W$ tal que $\dim W\leq n-1$ es cerrado y no hay punto interior en $V$.