Elementos de $\mathbb{F}_p$ que tiene raíces cúbicas en $\mathbb{F}_p$

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo, y que $\mathbb{F}_p$ sea el campo con $p$ elementos. ¿Cuántos elementos de $\mathbb{F}_p$ tienen raíces cúbicas en $\mathbb{F}_p$ ?

Tuve esta pregunta en un examen y después de repasar sigo sin estar seguro. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

1) Si $\,p=3\,$ entonces $\,a^3=a\,\,\,,\,\forall a\in\Bbb F_p\,$ por el Pequeño Teorema de Fermat

2) Si $\,3\nmid (p-1)\,$ entonces $\,f:\Bbb F_p^*\to \Bbb F_p^*\,\,\,,\,f(x):=x^3\,$ es un automorfismo (¿ves por qué? Consulte $\,\ker f\,$ ...)

3) Por último, si $\,3\mid (p-1)\,$ entonces el mapa $\,f\,$ anterior no puede ser un automorfismo, y como $\,\Bbb F_p^*\,$ es un cíclico grupo tiene entonces un único subgrupo de cualquier orden divinding $\,p-1\,$ Así que... (opcional: añadir $\,0\,$ )