Si $N$ $G/N$ están prácticamente resueltos, a continuación, $G$ es prácticamente solucionable?

Question

("Prácticamente solucionable" significa que hay una solución subgrupo finito de índice).

Sé que esta declaración se aplica en el caso "prácticamente solucionable" se sustituye por "solucionable", pero quiero golpearlo abajo a lo finito-índice subgrupo caso. Estoy bastante seguro de que esta es una declaración verdadera, aunque es posible que tenga que agregar un "sub-exponencial crecimiento de la" hipótesis". Probablemente no, aunque.

Mi línea de ataque es el mismo que en la prueba de "$N$, $G/N$ solucionable $\implies$ $G$ solucionable". En primer lugar, desde $G/N$ es solucionable, tiene un subgrupo $H/N$ de índice finito y $H/N$ es solucionable. Aplicar el teorema de la correspondencia: $[G : H] = [G/N : H/N] < \infty$, y un solucionable serie de $H/N$ corresponde a una cadena de subgrupos

$ H = H_0 \geq H_1 \geq \cdots \geq H_{m-1} \geq H_m = N $

donde $H_k/H_{k+1}$ es abelian.

Siguiente, $N$ tiene un subgrupo $N_0$ $[N : N_0] < \infty$ $N_0$ es solucionable. Entonces

$[G:N_0] = [G : H][H:N][N:N_0]$

y desde $[G:H], [N:N_0] < \infty$ es suficiente para mostrar que el $[H:N]<\infty$.

Estoy atascado aquí. Es esta la dirección correcta para ir con esto? No me parece bien que la cadena de subgrupos $H_0,\ldots,H_m$ ayuda en absoluto.

Answer 1

Sí.

1/ Subcase: $N$ finito, $G/N$ solucionable. A continuación, el centralizador $C$ $N$ ha finito índice (sólo por $N$ es finito). Desde $C\cap N$ es abelian y la proyección de $C$ $G/N$ es solucionable, se deduce que el $C$ es solucionable, por lo tanto $G$ es prácticamente solucionable.

2/ Subcase: $N$ prácticamente resueltos, $G/N$ solucionable. Deje $M$ ser finito índice subgrupo de $N$ si el mínimo índice. A continuación, $M$ es normal en $G$ (de lo contrario, si $M'$ es otro conjugado de $M$, $MM'$ es solucionable, y de menor índice, como se ha señalado por D. Holt). Por subcase 1, $G/M$ es solucionable; desde $M$ es solucionable, de ello se sigue que $G$ es solucionable.

3/ General: inmediatamente se reduce a la anterior.