Lagrange $L' = L + \frac{df}{dt}$ da las mismas ecuaciones de movimiento

Question

Es bien sabido que cuando un Lagrangiano $L$ incrementa el tiempo total derivada de una función $f$, que no depende de el tiempo de los derivados de la generalización de las coordenadas, las mismas ecuaciones de movimiento son obtenidas. Normalmente los nuevos Lagrange se escribe como

$$L'(q,\dot q, t) = L(q, \dot q, t) + \frac{df}{dt}(q,t)$$

Sin embargo, suele ser $L$ es considerado como una función que depende de las variables independientes $q$$\dot q$, pero que obviamente no es el caso con el término $\frac{df}{dt}(q,t)$. ¿No sería más correcto (y práctico) para escribir

$$L'(q,\dot q, t) = L(q, \dot q, t) + \frac{\partial f}{\partial q}(q,t)\dot q + \frac{\partial f}{\partial t}(q,t)$$

de modo que en la acción integral para una determinada trayectoria que no tienen la forma $\frac{df}{dt}(q(t),t)$, o es que hay algo que no he entendido?

Answer 1

Rigurosamente hablando, sí, tienes razón si se trata de la función de Lagrange. De hecho, E.-L. ecuaciones deben ser más correctamente escrito $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial L}{\partial {q}^k}= 0\:, \quad \frac{d q^k}{dt} = \dot{q}^k\quad k=1,\ldots, n\:.$$ En otras palabras $\dot{q}^k$ hace $\frac{d q^k}{dt}$ sólo a lo largo de las soluciones de las ecuaciones, pero, de lo contrario $\dot{q}^k$ ${q}^k$ son variables independientes. Esto es debido a que, geométricamente hablando, $L$ es un mapa desde el primer jet paquete de $j^1(S)$ donde $T: S\to \mathbb R$ es el haz de fibras llamado espacio-tiempo de las configuraciones, la base $\mathbb R$ representa el eje de tiempo, mientras que cada fibra $T^{-1}(t)$ es el espacio de configuración en tiempo de $t$. Natural de coordenadas locales adaptados para el haz de fibras de la estructura son el estándar de coordenadas $t, q^1,\ldots, q^n$. El jet paquete de $J^1(S)$ agrega cinemática coordenadas $\dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n$.

En esta imagen de la identidad, en el local de natural coordenadas, $$\frac{df(q(t),t)}{dt}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q}(q(t),t)\dot{q}^k(t) + \frac{\partial f}{\partial t}(q(t),t)$$ tiene sentido lo largo de las soluciones de ecuaciones de EL, pero no sin la fijación de una curva de $q=q(t)$ (solución de ecuaciones EL o no) debido a que la derivada en el lado izquierdo no puede ser calculada. Sin embargo, el formalismo se construye para fomentar esta intuitiva y eficaz interpretación, ya que, después de todo es bastante inofensivo. Uno puede definir algo como $$\widetilde{\frac{df(q,t)}{dt}}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q}(q,t)\dot{q}^k + \frac{\partial f}{\partial t}(q,t)\:,$$ sin la fijación de una sección de $S$. Tan pronto como una solución de EL, la notación se hace compatible con la norma.

Es importante destacar que si se centra en la acción en lugar de la de Lagrange, con el fin de aplicar el principio variacional, es correcto identificar siempre $\dot{q}^k$$\frac{dq^k}{dt}$, ya que la acción es un funcional sobre un espacio de curvas y $\dot{q}^k=\frac{dq^k}{dt}$ es asumido siempre que sea válido en cada una de estas curvas no importa si satisfacen EL de ecuaciones o no.

Answer 2

El OP tiene un punto. Si un punto denota el tiempo de la diferenciación

$$\dot{q}~\equiv~ \frac{dq}{dt},$$

y si añadimos que el tiempo total de derivados para el Lagrangiano

$$\tilde{L}(q,\dot{q},t)-L(q, \dot{q}, t) ~=~ \frac{dF(q,t)}{dt}~\equiv~\frac{\partial F(q,t)}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial F(q,t)}{\partial t},$$

y si queremos ver la posición $q$ y la velocidad de $v$ como independiente de las variables, cf. por ejemplo, este Phys.SE post, entonces debemos escribir formalmente

$$\tilde{L}(q,v,t)-L(q, v, t) ~=~ \frac{\partial F(q,t)}{\partial q}v + \frac{\partial F(q,t)}{\partial t}.$$