Dejemos que $X$ sea un espacio topológico conectado por caminos. para $x \in X, G = \pi_1(X,x)$ Demuestre que una equivalencia de homotopía $f \colon X \to X$ da un elemento bien definido elemento $g \in \operatorname{Out}(G)$ .
¿Cómo se puede empezar con esta cuestión?
Dejemos que $y = f(x)$ . Entonces $f$ determina un isomorfismo de $\pi_1(X, x)$ a $\pi_1(X, y)$ . Si tuviéramos $y = x$ entonces esto sería un automorfismo de $G$ pero no lo hacemos. Entonces, ¿qué podemos hacer en su lugar?
Podemos fijar una ruta entre $x$ a $y$ que también induce un isomorfismo de $\pi_1(X, x)$ a $\pi_1(X, y)$ y utilizar este camino para convertir el isomorfismo inducido por $f$ en un isomorfismo de $\pi_1(X, x)$ a $\pi_1(X, x)$ . Esto da un automorfismo, pero depende de la elección del camino. Ahora demuestre que si cambia el camino entonces la clase de este automorfismo en $\text{Out}(G)$ no cambia, por lo que está bien definida independientemente de la elección del camino.
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Tienes una equivalencia de homotopía por lo que también tienes una homotopía de curvas, entonces tienes un mapa entre $G$ Y como es una equivalencia, también es un automorfismo. Ahora, sólo tienes que demostrar que induce un automorfismo exterior, pero como es camino conectado también tienes automorfismo interior entre grupos fundamentales con diferentes puntos base, por lo que es en cierto sentido módulo estos automorfismos interiores.