Mostrando que una transformación de $T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^2$ es lineal

Question

OK, estoy tratando de probar la siguiente transformación es lineal, y encontrar la base para $\ker(T)$ e Im$(T)$ (también se denota en nuestro libro de texto por $N(T)$$R(T)$ ). Entonces estamos supone para encontrar la nulidad y el rango de $T$.

$T: \Bbb{R}^3 \rightarrow \Bbb{R}^2$ definido por $T(a_1, a_2, a_3) = (a_1-a_2, 2a_3)$

Queremos ver la transformación que conserva la suma y la multiplicación escalar. Así que definir el vector de $a$$(a_1, a_2, a_3)$$b$$(b_1, b_2, b_3)$. Así que la primera pregunta es si $T((a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$ = $T((a_1-a_2), 2a_3) + T(b_1-b_2, 2b_3)$

y cuando me conecte en vectores $a+b$ a la transformación de recibir:

$((a_1+b_1)-(a_2+b_2), 2(a_3+b_3))$ que funciona. Así además se conserva.

La siguiente pregunta es si se conserva el producto escalar, o si $T(ca+b) = cT(a) + T(b)$, y como sucede: $T(ca_1+b_1, ca_2+b_2, ca_3+b_3) = ((ca_1+b_1-ca_2+b_2), 2(ca_3+b_3))$

y entonces, si nos rompen los vectores nos encontramos con que tenemos $(ca_1-ca_2, 2ca_3)+(b_1-b_2, 2ba_3)$, por lo que la transformación es lineal.

Para encontrar el kernel que busque el conjunto de vectores para que $T(a_1,a_2,a_3) = 0$. Que sucede cuando $a_1 = a_2$ $a_3 = 0$

Pero ahí es donde me quedo atascado debido a que la definición de un núcleo no parece encajar. ¿Cuál es la base para el kernel en este caso? Si un núcleo es un conjunto de vectores, a continuación, esto es lo poco o ningún sentido para mí desde el principio. Porque no estoy seguro de lo que la base sería si el conjunto de vectores que son todos aquellos en los que $a_1 = a_2$ menos que sea algo como $(a_1, a_2, 0)$. Y la dimensión del núcleo es de 2, me wold pensar intuitivamente, pero quiero entender mejor el por qué de que es lo que puedo conseguir a través de el resto de el problema.

Answer 1

"... la definición de un núcleo no parece encajar." ¿A qué te refieres?

Usted está buscando en los vectores de la forma $(\lambda,\lambda,0)=\lambda(1,1,0)$, $\lambda\in\Bbb R$. Esto es sólo $\langle (1,1,0)\rangle$. Esto ha dimensión $1$.

Answer 2

En primer lugar, porque el párrafo 6, párrafos 3-5 no son necesarias. conectar $ca+b$ es suficiente para demostrar la linealidad.

A continuación, el núcleo consta de todos los vectores de la forma $(t,t,0)$, $t\in \mathbb{R}$. Esto significa que $\{(1,1,0)\}$ es una base para el núcleo de esta transformación lineal.

Answer 3

Un par de cosas:

La prueba de que $T$ es lineal obras. Sin embargo, usted podría ahorrar tiempo haciendo esto en un solo paso, mostrando que $T(\vec a+ c \vec b)=T(\vec a)+c\,T(\vec b)$; conectar $c=1$ a esta igualdad le da, además, y de conectar $\vec a=\vec 0$ le da la multiplicación escalar.

En cuanto a la segunda parte de la pregunta: el núcleo es, de hecho, el conjunto de vectores tales que el$a_1=a_2$$a_3=0$. Es decir, tenemos un sistema de dos ecuaciones en las 3 dimensiones del sistema que significa que nuestra solución debe ser uno-dimensional. En particular, podemos afirmar que el vector $\vec v=(1,1,0)$ forma una base del núcleo, ya que cualquier vector de la satisfacción de estas ecuaciones será un múltiplo de $\vec v$

Answer 4

La verificación de que $T$ es una transformación lineal que podría utilizar un poco de trabajo. Trate de ampliar a cabo la primera expresión para mostrar de manera explícita que $T(x + y) = T(x) + T(y)$. También, comprobar su (lineal) álgebra en la prueba de que $T$ preserva la multiplicación escalar.

Como para el núcleo, estás en lo correcto $T(a_1, a_2, a_3) = 0$ al$a_1 = a_2$$a_3 = 0$. Así $$N(T) = \{(a, a, 0) : a \in \mathbb{R}\}$$ Can you see why $\{(1, 1, 0)\}$ is a basis for $N(T)$?

Es bastante claro que las $T$ es sobre. Para cualquier $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $(x, 0, y/2) \mapsto (x, y)$ por lo $R(T) = \mathbb{R}^2$. También puede utilizar la clasificación de nulidad teorema, que nos da

$$3 = \dim \mathbb{R}^3 = \dim N(T) + \dim R(T) = 1 + \dim R(T)$$