Largo de la secuencia exacta en breves secuencias exactas

Question

Esta pregunta es de la categoría de versión de esta pregunta acerca de la división en el largo exacto de secuencias de módulos en breve secuencia exacta de los módulos.

Quiero entender el mecanismo general para la abelian categorías. Aquí está la descomposición me las arreglé para conseguir:

Pero no implican ningún cokernels como la versión del módulo. El más cercano llego a un cokernel es a través de la siguiente argumento (que ni siquiera estoy seguro de que es correcta): Dado que la exactitud es autodual, tenemos para cualquier composición $g\circ f$ $$\mathrm{coim}g=\mathrm{coker}f\iff \mathrm{im}f=\mathrm{ker}g$$ Esto, junto con la Imagen-Coimage isomorfismo, se obtiene el isomorfismo de los objetos de$$\mathrm{Im}f\cong\mathrm{Coker}g$$ No estoy seguro de si esto es correcto el razonamiento, ya que también conduce a la isomorfismo $\mathrm{Coker}g\cong\mathrm{Ker}g$ siempre $(f,g)$ es exacta. Así:

1. ¿Cuál es la descomposición de una larga secuencia exacta en corto exacta de secuencias en un abelian categoría?
2. Es el argumento que me dio para $\mathrm{Im}f\cong\mathrm{Coker}g$ correcto?

Answer 1

Tienes razón, lo que finalmente implica cokernels (=coimages de la siguiente flechas).

La primera línea es correcta: tomar cokernel de ambos lados de $\def\im{\rm im\,} \im f=\ker g$, obtendremos $\def\coker{\rm coker\,} \def\coim{\rm coim\,} \coker f=\coim g$. Por el contrario, tomar el núcleo de ambos lados.

Entonces, para los objetos, su segunda línea debe leer $${\rm Im\,}g\cong {\rm Coker\,f}\,.$$ La declaración de ${\rm Coker\,}g\cong{\rm Ker\,}g$ no sigue.

Y sí, esta es la forma en cómo el largo exacto de la secuencia se divide en corto exacta de las secuencias.