$X$ es una subvariedad de $\mathbb{R}^{n}$ si y solo si para todo $p\in X$ existe un conjunto abierto $U\subset\mathbb{R}^{n}$ y una función $C^{\infty}$ $r:U\rightarrow U$ tal que $r\circ r=r$ y $X\cap U=r(U)$.
En la primera dirección $\Rightarrow$ creo que es fácil pero en la segunda dirección $\Leftarrow$ no estoy seguro de cómo llevar eso a la definición de una subvariedad.
La prueba de esto se da en el nLab .
Una cosa interesante a tener en cuenta, como se discute en la página, es que dado que cada variedad suave (de dimensión finita, Hausdorff, segundo numerable) admite una inclusión en $\mathbb{R}^n$ para algún $n$, entonces de hecho esta construcción caracteriza completamente todas las variedades suaves, y la categoría de variedades suaves se puede ver como el envolvente de Karoubi (completamiento por divisores idempotentes) de la categoría de subconjuntos abiertos de espacios cartesianos. Como se explica en la Observación 4.2 del artículo mencionado, esto fue promovido por Bill Lawvere como una forma agradable de generalizar inmediatamente muchas construcciones en $\mathbb{R}^n$ a variedades suaves en general, sin tener que verificar tediosamente la compatibilidad con los cambios de coordenadas.
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