Para la opción 2:
Evaluar $\sin^{-1}(1)$. Es fácil
Para $4$:
$\sqrt{2}+\sqrt{\pi}$ satisface es una raíz de la ecuación:
$$(x^2-2-\pi)^2-2\pi=0$$
$$x^4-2(2+\pi)x^2+(\pi+2)^2-2\pi=0$$
$$x^4-(4+2\pi)x^2+\pi^2+2\pi+4=0$$
Por lo tanto $\sqrt{2}+\sqrt{\pi}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}(\pi)$
Aquí voy a incluir las pruebas de 2 datos útiles:
Hecho 1: Vamos a $E$ ser una extensión de campo de un campo de $F$. Deje $u\in E$. A continuación, $u$
es algebraico sobre $F$ fib $F(u)$ es finito dimesnsional $F$.
Prueba:
Dirección: Considerar los elementos $1,u,u^2,...u^{[F(u):F]}$. Si estas $[F(u):F]+1$ elementos linealmente independientes sobre $F$, entonces la dimensión de $F(u)$ $F$ debe ser mayor que o igual a $[F(u):F]+1$ (contradicción). Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que ellos son linealmente dependientes. Por lo tanto, no existe $a_0,a_1,....,a_{[F(u):F]}\in F$ tal de que no todos los thm son cero y:
$$a_{[F(u):F]}u^{[F(u):F]}+a_{[F(u):F]-1}u^{[F(u):F]-1}+...+a_1u+a_0=0$$
Por lo tanto $u$ es algebraico sobre $F$.
Hacia atrás: comenzamos por mostrar que $F(u)=F[u]$. Claramente, $F[u]\subseteq F(u)$. Desde $F(u)$ es la intersección de todos los subcampos que contengan $F\cup\{u\}$., por lo tanto, $F(u)\subseteq F[u]$ si $F[u]$. Ahora podemos comprobar que $F[u]$ es un campo. Considerar el anillo homomorphism $\phi: F[x]\rightarrow F(u)$ que envía a$p(x)$$p(u)$. Se puede demostrar que $\phi$ es surjective. Por lo tanto $F[u]\cong F[x]/Ker\phi$. $Ker\phi=\{p(x)\in F[x]|p(u)=0\}$. Desde $F$ es un campo, por lo tanto $F[x]$ es un PID. Desde $Ker\phi$ es un ideal de a $F[x]$, por lo $Ker\phi=(f(x))$ algunos $f(x)\in F[x]$. Se puede verificar con facilidad que $(f(u))$ es un primer ideal de $F[x]$. Desde $F[x]$ es un PID, por lo tanto, $Ker\phi=(f(x))$ es un ideal maximal de a $F[x]$. Por lo tanto $F[u]\cong F[x]/Ker\phi$ es un campo. Por lo tanto $F(u)=F[u]$. Compruebe que $\{1,u,u^2,...,u^{deg(f)-1}\}$ es una base para$F[u]$$F$. Por lo tanto, $F(u)=F[u]$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $F$.
Hecho 2: Deje $E$ ser una extensión de campo de un campo de $F$. Deje $K:=\{x\in E|x$ es algebraico sobre$F\}$. A continuación, $K$ es un campo.
Prueba: Vamos a $x,y$ ser algebraicas sobre $F$. Por el hecho 1, podemos deducir que $F(x)$ es finito dimensionales más de $F$. Desde $y$ es algebraico sobre $F$, por lo $y$ es algebraico sobre $F(x)$. Por lo tanto, por el hecho de 1 deducimos que $F(x)(y)$ es finito dimensionales más de $F(x)$. Desde $F(x)$ es finito dimensionales más de $F$. Por lo tanto $F(x)(y)$ es finito dimensionales más de $F$. Desde $x+y\in F(x)(y)$, por lo $F(x+y)$ es un subcampo de la $F(x)(y)$. Por lo tanto, $F(x+y)$ es finito dimensionales más de $F$. Por el hecho 1, podemos deducir que $x+y$ es algebraico sobre $F$. Por lo tanto es un elemento de $K$. El resto del campo axiomas puede ser verificado por la $K$ igualmente.
Desde $\sqrt{2}$ es algebraico sobre $Q$, por lo tanto es algebraico sobre $Q[\pi]$. Del mismo modo, $\sqrt{\pi}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}[\pi]$ (como es la raíz de la ecuación $x^2-\pi=0$). Por lo tanto, sabemos que $\sqrt{2}+\sqrt{\pi}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}[\pi]$ por hecho 2.
