Necesita ayuda para entender las declaraciones acerca de toro

Question

Estoy teniendo problemas con la comprensión de dos declaraciones:

Deje $A$ ser una curva algebraica en $\mathbb{P}^2$ $\mathbb{C}.$ Considera su normalización $$\pi: \hat{A} \to A.$$ If genus $g(\hat{A})=1,$ then $\hat{A}$ es un topológicamente un toro .

Entiendo hasta aquí, como se desprende de Riemann-Roch teorema. Lo que no entiendo son las siguientes instrucciones:

Es (es decir, torus) grupo de holomorphic automorfismos $Aut(\hat{A})$ es un complejo Mentira grupo cuyo componente conectado a la identidad es un complejo de torus $T$ que actúa libremente y transitivamente en $\hat{A}$.

El cociente $\Gamma:= Aut(\hat{A})/T$ es un grupo finito de orden en la mayoría de los seis.

Yo no entiendo a cualquiera de estos puntos. Podría alguien aclarar? Que los teoremas se utilizan aquí? Por favor, hágamelo saber de referencias, si es posible, por la prueba.

Answer 1

$\hat{A}$ es isomorfo (complejo analíticamente) a un toro de la forma $\mathbb{C}/\Lambda$ donde $\Lambda=\langle 1,\tau\rangle$ es un subgrupo discreto de rango 2 en $\mathbb{C}$ (es decir, una celosía) y $\tau\in\mathbb{H}$. Es bien conocido teorema que cualquier holomorphic mapa entre tori es la composición de un grupo de homomorphism con una traducción.

Vemos que las traducciones son automorfismos de a $\hat{A}$, y por lo $\hat{A}\leq\mbox{Aut}(\hat{A})$ (ya que si $t_x$ es por la traducción $x$, $t_x\circ t_y=t_{x+y}$). Lo que queda es buscar en los elementos de la $G$ de la automorphism grupo que arreglar 0. Un automorphism que corrige 0 está dada por un complejo número de $\lambda$ tal que $\lambda\Lambda=\Lambda$. No es difícil mostrar que esto implica que $\lambda$ es la cuarta raíz o un sexto de la raíz de la unidad. Después de analizar diferentes casos, conseguimos que los $G$ puede ser $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (dado por la involución $x\mapsto -x$, todos tori tiene este), $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ (en este caso el toro es isomorfo al toro $\mathbb{C}/\langle1, i\rangle$) o $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (y aquí el toro es isomorfo a $\mathbb{C}/\langle1,e^{2\pi i/6}\rangle$).

Poniendo todo esto junto, tenemos que la automorphism grupo es isomorfo a $G\ltimes\hat{A}$ donde $G$ es de orden 2 (esto es cierto para el general toro), 4 o 6.

Edit: Un buen comienzo de referencia de esta es la de Miranda libro sobre curvas Algebraicas y las superficies de Riemann.